京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $y=e^x+1$ の $x=t$ における接線は、傾きが $e^t$ で、接点が $(t,e^t+1)$ であるから $y=e^t(x-t)+e^t+1$ である。この接線が $(a,0)$ を通る条件は $0=e^t(a-t)+e^t+1$ である。両辺を $e^t$ で割ると $0=a-t+1+e^{-t}$ すなわち $a=t-1-e^{-t}$ である。

ここで $\varphi (t)=t-1-e^{-t}$ とおくと ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(t)=1+e^{-t}>0$ であるから、$\varphi (t)$ は実数全体で狭義単調増加である。また$$\underset{t\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (t)=-\mathrm{\infty },\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (t)=\mathrm{\infty }$$である。したがって任意の実数 $a$ に対して $\varphi (t)=a$ を満たす実数 $t$ がただ1つ存在する。ゆえに、$(a,0)$ を通り $y=e^x+1$ に接する直線はただ1つ存在する。

(2)

定義より、$(a_n,0)$ を通る接線の接点の $x$ 座標が $a_{n+1}$ である。したがって(1)の関係式に $a=a_n$、$t=a_{n+1}$ を代入して $$a_n=a_{n+1}-1-e^{-a_{n+1}}$$ を得る。よって $$a_{n+1}-a_n=1+e^{-a_{n+1}}$$ である。特に $a_{n+1}-a_n>1$ なので、$a_1=1$ から $a_n\geqq n$ が従う。したがって $a_n\to \mathrm{\infty }$ であり、特に $a_{n+1}\to \mathrm{\infty }$ である。

以上より $e^{-a_{n+1}}\to 0$ であるから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_{n+1}-a_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+e^{-a_{n+1}})=1$$である。