京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$O$を原点とし，$$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$とおく。

まず，三角形$OBC$の外心を位置ベクトル$\vec{u}$で表す。外心の定義より $$\mathrm{\mid }\vec{u}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{c}\mathrm{\mid }$$ である。$$\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2$$を展開すると $$\vec{u}\cdot \vec{b}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{2}$$ であり，同様に $$\vec{u}\cdot \vec{c}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}{2}$$ である。 $A$から平面$OBC$へ下ろした垂線はこの外心を通るので，$\vec{a}-\vec{u}$ は平面$OBC$上の方向$\vec{b},\vec{c}$に垂直である。したがって$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{u}\cdot \vec{b}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{2},\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{u}\cdot \vec{c}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}{2}$$を得る。

同じ議論を$B$から平面$OCA$への垂線，$C$から平面$OAB$への垂線について行うと，$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2}{2},\vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}{2},\vec{b}\cdot \vec{c}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{2},\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2}{2}$$も得られる。

これらを比較すると，まず $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2}{2}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2}{2}$$ より $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }$ である。同様に $$\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }$$ であるから，$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }$$ が成り立つ。その共通の2乗を$L^2$とすると，3つの内積はすべて $\frac{L^2}{2}$ である。

したがって $OA=OB=OC=L$ であり，さらに $$A{B}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=L^2+L^2-2\cdot \frac{L^2}{2}=L^2$$ である。同様に $B{C}^2=C{A}^2=L^2$ である。よって6辺がすべて等しいので，四面体$OABC$は正四面体である。

外心と垂足が一致することを，直角三角形の三平方の定理に直接使う。頂点$A$から対面へ下ろした垂線の足が三角形$OBC$の外心なら，$A$から$O,B,C$までの3距離が等しい。同じ事実を$B,C$について適用して6辺をそろえる。

頂点$A$から平面$OBC$へ下ろした垂線の足を$U_A$とする。仮定より，$U_A$は三角形$OBC$の外心でもある。したがって$$\begin{array}{cccc}& U_{A}O=U_{A}B=U_{A}C& & \text{(1)}\end{array}$$である。

また$A{U}_A\perp \text{平面 }OBC$だから，三角形$A{U}_{A}O,A{U}_{A}B,A{U}_{A}C$はいずれも$U_A$を直角とする。三平方の定理と(1)より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A{O}^2}& {\displaystyle =A{U}_A^2+U_A{O}^2,}\\ {\displaystyle A{B}^2}& {\displaystyle =A{U}_A^2+U_A{B}^2,}\\ {\displaystyle A{C}^2}& {\displaystyle =A{U}_A^2+U_A{C}^2}\end{array}$$の右辺はすべて等しい。よって$$\begin{array}{cccc}& AO=AB=AC\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$同様に，頂点$B$からの垂線の足は三角形$OCA$の外心だから$$\begin{array}{cccc}& BO=BA=BC,& & \text{(3)}\end{array}$$頂点$C$からの垂線の足は三角形$OAB$の外心だから$$\begin{array}{cccc}& CO=CA=CB& & \text{(4)}\end{array}$$となる。(2)と(3)から$AO,AB,AC,BO,BC$はすべて等しく，さらに(4)から$CO$も同じ長さである。

したがって四面体$OABC$の6辺はすべて等しく，$OABC$は正四面体である。