京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$O$を原点とし，$$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$とおく。また$$A=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2,B=\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2,C=\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2,p=\vec{a}\cdot \vec{b},q=\vec{b}\cdot \vec{c},r=\vec{c}\cdot \vec{a}$$とする。

三角形$OBC$の重心は$(\vec{b}+\vec{c})\mathrm{/}3$である。$A$から平面$OBC$へ下ろした垂線がこの点を通るので，$\vec{a}-\frac{\vec{b}+\vec{c}}{3}$ は平面$OBC$上の2つの方向$\vec{b},\vec{c}$に垂直である。したがって$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2+\vec{b}\cdot \vec{c}}{3},\vec{a}\cdot \vec{c}=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}+\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2}{3}$$である。記号で書けば $3p=B+q,3r=q+C$ である。

同様に，$B$から平面$OCA$への垂線と，$C$から平面$OAB$への垂線についても式を立てると，$$3q=C+r,3p=r+A,3r=A+p,3q=p+B$$ を得る。

まず $3p=B+q,3q=p+B$ を引き比べると $4(p-q)=0$ であるから$p=q$である。同様に $3r=q+C,3q=C+r$ より$r=q$，また $3p=r+A,3r=A+p$ より$p=r$である。したがって $p=q=r$ である。

さらに，たとえば$3p=B+q$に$q=p$を代入すると $B=2p$ である。同じように $A=2p,C=2p$ も得られる。よって $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }$$ であり，3つの内積もすべて等しい。

このとき $$O{A}^2=A=2p,O{B}^2=B=2p,O{C}^2=C=2p$$ である。また $$A{B}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=A+B-2p=2p$$ であり，同様に $B{C}^2=C{A}^2=2p$ である。四面体は退化していないので$p>0$であり，6辺の長さはすべて等しい。したがって四面体$OABC$は正四面体である。

四面体全体の重心を原点に取る。すると各対面の重心は，向かい側の頂点ベクトルの$-1\mathrm{/}3$倍になるため，頂点から対面重心への方向はその頂点ベクトル自身になる。垂直条件から頂点どうしの内積がすべて等しいことを導き，重心関係から各頂点ベクトルの長さも等しいと示す。

四面体$OABC$の重心を原点とし，各頂点の位置ベクトルをそれぞれ$$\vec{o},\vec{a},\vec{b},\vec{c}$$とする。このとき$$\begin{array}{cccc}& \vec{o}+\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}& & \text{(1)}\end{array}$$である。

頂点$A$の対面$OBC$の重心を$G_A$とし，その位置ベクトルを${\vec{g}}_A$とすると，(1)より$${\vec{g}}_A=\frac{\vec{o}+\vec{b}+\vec{c}}{3}=-\frac{\vec{a}}{3}\mathrm{.}$$したがって$A$から$G_A$へ向かうベクトルは$-4\vec{a}\mathrm{/}3$である。仮定によりこの直線は平面$OBC$に垂直だから，$\vec{a}$は$\vec{b}-\vec{o}$および$\vec{c}-\vec{o}$に垂直である。よって$$\begin{array}{cccc}& \vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{o},\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{a}\cdot \vec{o}\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$同じ議論を頂点$B,C$について行うと，異なる2頂点の位置ベクトルの内積はすべて同じ値になる。これを$p$とおけば$$\begin{array}{cccc}& \vec{o}\cdot \vec{a}=\vec{o}\cdot \vec{b}=\cdots =\vec{b}\cdot \vec{c}=p\mathrm{.}& & \text{(3)}\end{array}$$(1)の両辺と$\vec{a}$との内積を取ると$$0=\vec{a}\cdot (\vec{o}+\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+3p$$である。したがって$\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2=-3p$である。$\vec{o},\vec{b},\vec{c}$についても同様なので，4頂点の位置ベクトルの長さはすべて等しい。

任意の異なる2頂点の位置ベクトルを$\vec{u},\vec{v}$とすると，(3)より$$\mathrm{\mid }\vec{u}-\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{u}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{v}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}=-3p-3p-2p=-8p$$である。この値は頂点の選び方によらない。よって四面体の6辺はすべて等しく，$OABC$は正四面体である。