京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$$とおく。点$E$は辺$AB$上，点$F$は辺$BC$上にあるので，$0<s<1$，$0<t<1$を用いて$$\overrightarrow{OE}=(1-s)\mathbf{a}+s\mathbf{b},\overrightarrow{OF}=(1-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}$$と書ける。このとき $$AE:EB=s:(1-s),CF:FB=(1-t):t$$ である。

また$D$は$OA$上，$G$は$CO$上にあるから，$\overrightarrow{DG}$は$\mathbf{a}$と$\mathbf{c}$の1次結合で表され，$\mathbf{b}$成分をもたない。一方$$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{OF}-\overrightarrow{OE}=-(1-s)\mathbf{a}+(1-s-t)\mathbf{b}+t\mathbf{c}$$である。 $\overrightarrow{DG}$と$\overrightarrow{EF}$が平行なら，$\overrightarrow{EF}$も$\mathbf{b}$成分をもたない。したがって $1-s-t=0$ であり，$s=1-t$である。よって $$AE:EB=s:(1-s)=(1-t):t=CF:FB$$ となる。

(2)
正八面体では，向かい合う頂点を結ぶ3本の対角線が1点で交わり，その点で互いに中点に分けられる。この配置では向かい合う頂点は $(D,F),(E,G),(H,I)$ である。したがって $$\frac{D+F}{2}=\frac{E+G}{2}=\frac{H+I}{2}$$ が成り立つ。以下，位置ベクトルで係数比較を行う。 $$0<\lambda ,\mu ,\nu ,\rho ,\eta ,\kappa <1$$を用いて$$D=\lambda \mathbf{a},E=(1-\mu )\mathbf{a}+\mu \mathbf{b},F=(1-\nu )\mathbf{b}+\nu \mathbf{c},$$$$G=\rho \mathbf{c},H=\eta \mathbf{b},I=(1-\kappa )\mathbf{a}+\kappa \mathbf{c}$$と書く。まず$D+F=E+G$から係数を比較すると $$\lambda =1-\mu ,1-\nu =\mu ,\nu =\rho$$ である。したがって $$\nu =\lambda ,\rho =\lambda ,\mu =1-\lambda$$ である。

次に$E+G=H+I$から係数を比較すると $$1-\mu =1-\kappa ,\mu =\eta ,\rho =\kappa$$ である。上で得た関係を代入すると $$\kappa =\mu =1-\lambda ,\rho =\lambda$$ であり，さらに$\rho =\kappa$より $\lambda =1-\lambda$ を得る。よって $\lambda =\frac{1}{2}$ である。これにより $$\lambda =\mu =\nu =\rho =\eta =\kappa =\frac{1}{2}$$ も従う。したがって$D,E,F,G,H,I$はすべて，対応する辺の中点である。

最後に，$OABC$が正四面体であることを示す。たとえば面$OAB$では，$D,E,H$はそれぞれ$OA,AB,OB$の中点である。よって $$DE=\frac{1}{2}OB,EH=\frac{1}{2}OA,HD=\frac{1}{2}AB$$ である。正八面体の面$DEH$は正三角形なので $DE=EH=HD$ であり，したがって $OA=OB=AB$ である。同様に他の面についても考えると，四面体$OABC$の各面は正三角形であり，結局6本の辺はすべて等しい。よって$OABC$は正四面体である。

(1) は2本の線分が属する面に着目する。$DG$ は面 $OAC$、$EF$ は面 $ABC$ にあり、平行なら共通方向は2平面の交線 $AC$ と平行になる。三角形 $ABC$ の平行線の比で結論する。(2)は正八面体の向かい合う3組が共通中点をもつことを、辺上の6個の内分係数へ一度に反映する。

(1)
線分 $DG$ は平面 $OAC$ 内にあり、線分 $EF$ は平面 $ABC$ 内にある。両者が平行なら、その共通の方向は2平面の方向にともに含まれる。平面 $OAC$ と平面 $ABC$ の交線は $AC$ だから$$EF\parallel AC\mathrm{.}$$したがって三角形 $ABC$ の平行線の性質により$$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}\mathrm{.}$$この共通の比を $t$ とすると$$\frac{AE}{EB}=\frac{1-t}{t}=\frac{CF}{FB}\mathrm{.}$$よって$$AE:EB=CF:FB\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{OA}=\mathbf{a},\overrightarrow{OB}=\mathbf{b},\overrightarrow{OC}=\mathbf{c}$$とする。6点を$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle D}& {\displaystyle =d\mathbf{a},}& {\displaystyle E}& {\displaystyle =(1-e)\mathbf{a}+e\mathbf{b},}\\ {\displaystyle F}& {\displaystyle =(1-f)\mathbf{b}+f\mathbf{c},}& {\displaystyle G}& {\displaystyle =g\mathbf{c},}\\ {\displaystyle H}& {\displaystyle =h\mathbf{b},}& {\displaystyle I}& {\displaystyle =(1-i)\mathbf{a}+i\mathbf{c}}\end{array}$$と表す。各係数は0と1の間にある。

正八面体で向かい合う頂点の組は$$(D,F),(E,G),(H,I)$$であり、3本の対角線は共通の中点をもつ。したがって$$D+F=E+G=H+I\mathrm{.}$$最初の等式を $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数で比較すると$$d=1-e,f=1-e,g=f\mathrm{.}$$次の等式から$$i=e,h=e,g=i\mathrm{.}$$ゆえに$$e=g=f=1-e,$$したがって $e=1\mathrm{/}2$。すべての係数が $1\mathrm{/}2$ となり、6点は各辺の中点である。

面 $OAB$ では $D,E,H$ が3辺の中点なので$$DE=\frac{1}{2}OB,EH=\frac{1}{2}OA,HD=\frac{1}{2}AB\mathrm{.}$$一方、$DEH$ は正八面体の正三角形の面である。よって$$OA=OB=AB\mathrm{.}$$他の面にも同じ議論を適用すると、四面体の6辺はすべて等しい。したがって $OABC$ は正四面体である。