京都大学 2017年度
理系数学 第2問

解答

解法1

(1)

とおく。点$E$は辺$AB$上，点$F$は辺$BC$上にあるので，$0<s<1$，$0<t<1$を用いて

と書ける。このとき $AE:EB=s:(1-s),CF:FB=(1-t):t$ である。

また$D$は$OA$上，$G$は$CO$上にあるから，$\overrightarrow{DG}$は$\mathbf{a}$と$\mathbf{c}$の1次結合で表され，$\mathbf{b}$成分をもたない。一方

である。 $\overrightarrow{DG}$と$\overrightarrow{EF}$が平行なら，$\overrightarrow{EF}$も$\mathbf{b}$成分をもたない。したがって $1-s-t=0$ であり，$s=1-t$である。よって $AE:EB=s:(1-s)=(1-t):t=CF:FB$ となる。

(2)

正八面体では，向かい合う頂点を結ぶ3本の対角線が1点で交わり，その点で互いに中点に分けられる。この配置では向かい合う頂点は $(D,F),(E,G),(H,I)$ である。したがって $\frac{D+F}{2}=\frac{E+G}{2}=\frac{H+I}{2}$ が成り立つ。以下，位置ベクトルで係数比較を行う。 $0<\lambda ,\mu ,\nu ,\rho ,\eta ,\kappa <1$を用いて

と書く。まず$D+F=E+G$から係数を比較すると $\lambda =1-\mu ,1-\nu =\mu ,\nu =\rho$ である。したがって $\nu =\lambda ,\rho =\lambda ,\mu =1-\lambda$ である。

次に$E+G=H+I$から係数を比較すると $1-\mu =1-\kappa ,\mu =\eta ,\rho =\kappa$ である。上で得た関係を代入すると $\kappa =\mu =1-\lambda ,\rho =\lambda$ であり，さらに$\rho =\kappa$より $\lambda =1-\lambda$ を得る。よって $\lambda =\frac{1}{2}$ である。これにより $\lambda =\mu =\nu =\rho =\eta =\kappa =\frac{1}{2}$ も従う。したがって$D,E,F,G,H,I$はすべて，対応する辺の中点である。

最後に，$OABC$が正四面体であることを示す。たとえば面$OAB$では，$D,E,H$はそれぞれ$OA,AB,OB$の中点である。よって $DE=\frac{1}{2}OB,EH=\frac{1}{2}OA,HD=\frac{1}{2}AB$ である。正八面体の面$DEH$は正三角形なので $DE=EH=HD$ であり，したがって $OA=OB=AB$ である。同様に他の面についても考えると，四面体$OABC$の各面は正三角形であり，結局6本の辺はすべて等しい。よって$OABC$は正四面体である。

解法2

(1)

線分 $DG$ は平面 $OAC$ 内にあり、線分 $EF$ は平面 $ABC$ 内にある。両者が平行なら、その共通の方向は2平面の方向にともに含まれる。平面 $OAC$ と平面 $ABC$ の交線は $AC$ だから

したがって三角形 $ABC$ の平行線の性質により

この共通の比を $t$ とすると

よって

(2)

とする。6点を

と表す。各係数は0と1の間にある。

正八面体で向かい合う頂点の組は

であり、3本の対角線は共通の中点をもつ。したがって

最初の等式を $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ の係数で比較すると

次の等式から

ゆえに

したがって $e=1/2$。すべての係数が $1/2$ となり、6点は各辺の中点である。

面 $OAB$ では $D,E,H$ が3辺の中点なので

一方、$DEH$ は正八面体の正三角形の面である。よって

他の面にも同じ議論を適用すると、四面体の6辺はすべて等しい。したがって $OABC$ は正四面体である。