京都大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$g(x)=dx+e$ は一次式なので、$f(x)$ を $g(x)$ で割ると $f(x)=(ux+v)g(x)+r$ と書ける。ただし $u,v,r$ は実数定数であり、$r$ は余りである。

正の整数 $n$ に対して $$N_n=\frac{f(n)}{g(n)}$$ とおく。仮定より $N_n$ はすべて整数である。また $$N_n=un+v+\frac{r}{dn+e}$$ である。

もし $r\mathrm{\ne }0$ であると仮定する。整数列 $N_n$ の2階差 $$D_n=N_{n+2}-2N_{n+1}+N_n$$ も整数である。一方、一次式 $un+v$ の2階差は0だから $$D_n=r\{\frac{1}{d(n+2)+e}-\frac{2}{d(n+1)+e}+\frac{1}{dn+e}\}$$ である。

$A=dn+e$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{A+2d}-\frac{2}{A+d}+\frac{1}{A}}& {\displaystyle =\frac{A(A+d)-2A(A+2d)+(A+d)(A+2d)}{A(A+d)(A+2d)}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{2d^2}{A(A+d)(A+2d)}}\end{array}$$である。したがって $$D_n=\frac{2r{d}^2}{(dn+e)(d(n+1)+e)(d(n+2)+e)}$$ である。

$d,e$ は正であり、$r\mathrm{\ne }0$ と仮定しているから、$D_n$ は0ではない。また分母は $n\to \mathrm{\infty }$ で限りなく大きくなるので $D_n\to 0$ である。よって十分大きい $n$ では $0<\mathrm{\mid }{D}_n\mathrm{\mid }<1$ となる。しかし $D_n$ は整数であるから、これは矛盾である。

したがって $r=0$ である。ゆえに $f(x)=(ux+v)g(x)$ となり、$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる。

$f$ を $g$ で割った余りを $r$ とし、整数列 $N_n=f(n)\mathrm{/}g(n)$ の1階差を取る。その差は整数でありながらある実数へ収束するので、十分先では一定の整数になる。一方、$re0$ なら差は $n$ とともに変化し続けるため矛盾する。

1階差だけでも余りを消せる。上と同じく $$N_n=un+v+\frac{r}{dn+e}$$ とし、$r\mathrm{\ne }0$ と仮定する。整数列 $N_n$ の差 $E_n=N_{n+1}-N_n$ も整数である。一方、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E_n}& {\displaystyle =u+r\{\frac{1}{d(n+1)+e}-\frac{1}{dn+e}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u-\frac{rd}{(dn+e)(d(n+1)+e)}}\end{array}$$であるから、$E_n\to u$ である。

整数列がある実数に収束するなら、十分大きいところでは同じ整数に固定される。したがって、ある整数 $M$ が存在して、十分大きいすべての $n$ で $E_n=M$ となる。すると $$u-M=\frac{rd}{(dn+e)(d(n+1)+e)}$$ が十分大きいすべての $n$ で成り立つ。しかし右辺は $rd\mathrm{\ne }0$ であり、分母が $n$ とともに変化するので一定ではない。これは矛盾である。

よって $r=0$ であり、$f(x)$ は $g(x)$ で割り切れる。