京都大学 2017年度
文系数学 第3問

解答

解法1

直線$l$の方向ベクトルを $\mathbf{u}=(0,-1,1)$ とする。また，直線$m$は点$B(0,2,1)$を通り，方向ベクトルを$(-1,0,-2)$として $R=(0,2,1)+t(-1,0,-2)$ と表せる。直線$l$上の点を $N=s\mathbf{u}=(0,-s,s)$ とおく。 $R$から$l$への距離が最小となるとき，$R-N$は両直線の方向ベクトルに垂直である。したがって $(R-N)\cdot \mathbf{u}=0,(R-N)\cdot (-1,0,-2)=0$ を満たす。ここで $R=(-t,2,1-2t),R-N=(-t,2+s,1-2t-s)$ であるから，条件は $-(2+s)+(1-2t-s)=0$ および $t-2(1-2t-s)=0$ である。整理して $s+t=-\frac{1}{2},2s+5t=2$ を得る。これを解くと $s=-\frac{3}{2},t=1$ である。よって最短距離を与える点は $N=\left(0,\frac{3}{2},-\frac{3}{2}\right),R=(-1,2,-1)$ である。

このとき $\overrightarrow{NR}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ なので $R{N}^2=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$ である。

正三角形$PQR$では，頂点$R$から辺$PQ$へ下ろした垂線の足は$PQ$の中点であり，その高さは一辺の$\sqrt{3}/2$倍である。したがって，面積を最小にするにはこの足を$N$にすればよく，$RN=\frac{\sqrt{3}}{2}PQ$ である。よって $PQ=\frac{2}{\sqrt{3}}RN=\sqrt{2}$ である。

直線$l$の方向ベクトル$\mathbf{u}$の長さは$\sqrt{2}$であるから，$PQ=\sqrt{2}$となるように，$N$から$\pm \frac{1}{2}\mathbf{u}$だけ進めばよい。したがって $P=N-\frac{1}{2}\mathbf{u}=(0,2,-2),Q=N+\frac{1}{2}\mathbf{u}=(0,1,-1)$ と取れる。$P,Q$の順序は入れ替えても同じである。

以上より，求める点は順序を除いて $P=(0,1,-1),Q=(0,2,-2),R=(-1,2,-1)$ である。

解法2

直線 $l,m$ の方向ベクトルを

とする。このとき

$N\in l$、$R\in m$ を

とおく。最短線分 $\overrightarrow{NR}$ は2直線の双方に垂直なので、ある実数 $\lambda$ を用いて

と書ける。成分を比較すると

前2式から $t=-2\lambda ,s=-\lambda -2$。これを第3式へ入れると

よって

したがって

また

正三角形の高さは一辺の $\sqrt{3}/2$ 倍だから

$|\mathbf{u}|=\sqrt{2}$ なので、$N$ を中点として

と取ればよい。したがって、順序を除いて

である。