京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

直線$l$の方向ベクトルを $\mathbf{u}=(0,-1,1)$ とする。また，直線$m$は点$B(0,2,1)$を通り，方向ベクトルを$(-1,0,-2)$として $R=(0,2,1)+t(-1,0,-2)$ と表せる。直線$l$上の点を $N=s\mathbf{u}=(0,-s,s)$ とおく。 $R$から$l$への距離が最小となるとき，$R-N$は両直線の方向ベクトルに垂直である。したがって $$(R-N)\cdot \mathbf{u}=0,(R-N)\cdot (-1,0,-2)=0$$ を満たす。ここで $$R=(-t,2,1-2t),R-N=(-t,2+s,1-2t-s)$$ であるから，条件は $-(2+s)+(1-2t-s)=0$ および $t-2(1-2t-s)=0$ である。整理して $$s+t=-\frac{1}{2},2s+5t=2$$ を得る。これを解くと $s=-\frac{3}{2},t=1$ である。よって最短距離を与える点は $$N=(0,\frac{3}{2},-\frac{3}{2}),R=(-1,2,-1)$$ である。

このとき $$\overrightarrow{NR}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$$ なので $$R{N}^2=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$$ である。

正三角形$PQR$では，頂点$R$から辺$PQ$へ下ろした垂線の足は$PQ$の中点であり，その高さは一辺の$\sqrt{3}\mathrm{/}2$倍である。したがって，面積を最小にするにはこの足を$N$にすればよく，$$RN=\frac{\sqrt{3}}{2}PQ$$ である。よって $$PQ=\frac{2}{\sqrt{3}}RN=\sqrt{2}$$ である。

直線$l$の方向ベクトル$\mathbf{u}$の長さは$\sqrt{2}$であるから，$PQ=\sqrt{2}$となるように，$N$から$\pm \frac{1}{2}\mathbf{u}$だけ進めばよい。したがって $$P=N-\frac{1}{2}\mathbf{u}=(0,2,-2),Q=N+\frac{1}{2}\mathbf{u}=(0,1,-1)$$ と取れる。$P,Q$の順序は入れ替えても同じである。

以上より，求める点は順序を除いて $$P=(0,1,-1),Q=(0,2,-2),R=(-1,2,-1)$$ である。

2直線の方向ベクトルの外積を用いる。最短線分 $\overrightarrow{NR}$ は両方向ベクトルに垂直なので、その外積と平行である。$R-N=\lambda (\mathbf{u}\times \mathbf{v})$ を成分比較して最短点 $N,R$ を直接求め、正三角形の高さから $P,Q$ を復元する。

直線 $l,m$ の方向ベクトルを$$\mathbf{u}=(0,-1,1),\mathbf{v}=(-1,0,-2)$$とする。このとき$$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=(2,-1,-1)\mathrm{.}$$$N\in l$、$R\in m$ を$$N=s\mathbf{u}=(0,-s,s),R=(0,2,1)+t\mathbf{v}=(-t,2,1-2t)$$とおく。最短線分 $\overrightarrow{NR}$ は2直線の双方に垂直なので、ある実数 $\lambda$ を用いて$$R-N=\lambda (2,-1,-1)$$と書ける。成分を比較すると$$-t=2\lambda ,2+s=-\lambda ,1-2t-s=-\lambda \mathrm{.}$$前2式から $$t=-2\lambda ,s=-\lambda -2$$。これを第3式へ入れると$$3+5\lambda =-\lambda ,$$よって$$\lambda =-\frac{1}{2},t=1,s=-\frac{3}{2}\mathrm{.}$$したがって$$N=(0,\frac{3}{2},-\frac{3}{2}),R=(-1,2,-1)\mathrm{.}$$また$$\overrightarrow{NR}=(-1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}),RN=\sqrt{\frac{3}{2}}\mathrm{.}$$正三角形の高さは一辺の $\sqrt{3}\mathrm{/}2$ 倍だから$$PQ=\frac{2}{\sqrt{3}}RN=\sqrt{2}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\mathbf{u}\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$ なので、$N$ を中点として$$P=N+\frac{1}{2}\mathbf{u},Q=N-\frac{1}{2}\mathbf{u}$$と取ればよい。したがって、順序を除いて$$P=(0,1,-1),Q=(0,2,-2),R=(-1,2,-1)$$である。