京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

条件（ロ）より，方程式$f(x)=0$は非実数の解をもつ。係数が実数なので，非実数解$\alpha$があれば，その共役複素数$\bar{\alpha }$も解である。3次式であるから，残りの解を実数$r$として，根の集合は $\{r,\alpha ,\bar{\alpha }\}$ と書ける。

条件（イ）は，この根の集合が3乗をとる操作で閉じていることを表す。まず実数根$r$について考える。$r^3$は実数であり，根の集合に含まれるので，非実数の$\alpha ,\bar{\alpha }$にはなれない。したがって $r^3=r$ である。よって $r=0,1,-1$ である。

次に非実数解$\alpha$を考える。${\alpha }^3$は$r,\alpha ,\bar{\alpha }$のいずれかである。 ${\alpha }^3=r$の場合，$\alpha \mathrm{\ne }0$であり，$r=1$または$r=-1$である。$r=1$なら，$\alpha ,\bar{\alpha }$は1の非実数の3乗根であるから，根全体は$x^3-1=0$の3根である。したがって $f(x)=x^3-1$ を得る。$r=-1$なら，$\alpha ,\bar{\alpha }$は$-1$の非実数の3乗根であるから，根全体は$x^3+1=0$の3根である。したがって $f(x)=x^3+1$ を得る。 ${\alpha }^3=\alpha$の場合，$\alpha ({\alpha }^2-1)=0$であるから，$\alpha =0,1,-1$となってしまい，非実数であることに反する。よってこの場合はない。 $${\alpha }^3=\bar{\alpha }$$の場合を考える。$\alpha \mathrm{\ne }0$であり，絶対値を比較すると$\mathrm{\mid }\alpha {\mathrm{\mid }}^3=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }$なので$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }=1$である。したがって$$\bar{\alpha }=1\mathrm{/}\alpha$$であり，$${\alpha }^3=\bar{\alpha }$$に代入すると ${\alpha }^4=1$ である。非実数の4乗根は $$\alpha =i,\alpha =-i$$ である。したがって非実数解の組は$i,-i$であり，実数根$r$は先に求めた$0,1,-1$のいずれかである。よって $f(x)=(x-r)(x^2+1)$ であり，$x^3+x,x^3-x^2+x-1,x^3+x^2+x+1$ を得る。

以上の候補はいずれも実係数で，非実数解をもち，さらに各根を3乗しても同じ根集合の中に入る。したがって求める3次式は$$\begin{array}{c}{\displaystyle x^3-1,x^3+1,x^3+x,}\\ {\displaystyle x^3-x^2+x-1,x^3+x^2+x+1}\end{array}$$である。

非実根を極形式$\alpha =\rho e^{i\theta }$で表し，絶対値と偏角を分けて分類する。実係数3次式の根は$r,\alpha ,\bar{\alpha }$であり，3乗写像の行き先はこの3根のいずれかである。特に${\alpha }^3=\bar{\alpha }$では絶対値から$\rho =1$，偏角から$4\theta \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$を得る。

非実根を$\alpha =\rho e^{i\theta }$（$\rho >0$）とする。実係数3次式なので根は$$r,\alpha ,\bar{\alpha }$$と書け，$r$は実数である。$r^3$も実根だから$r^3=r$，すなわち$$\begin{array}{cccc}& r=0,1,-1& & \text{(1)}\end{array}$$である。

非実根$\alpha$の3乗の行き先を分類する。

(i) ${\alpha }^3=r$ の場合

$r=0$なら$\alpha =0$となるので不適である。$r=1$なら$r,\alpha ,\bar{\alpha }$は1の3乗根をすべて与えるから$f(x)=x^3-1$である。$r=-1$なら同様に$-1$の3乗根をすべて与え，$f(x)=x^3+1$である。

(ii) ${\alpha }^3=\alpha$ の場合

$\alpha \mathrm{\ne }0$より${\alpha }^2=1$となり，$\alpha$が非実数であることに反する。

(iii) $${\alpha }^3=\bar{\alpha }$$ の場合

絶対値を比較すると${\rho }^3=\rho$であり，$\rho >0$より$\rho =1$である。したがって$$\bar{\alpha }=e^{-i\theta }$$であり，偏角を比較して$$3\theta \equiv -\theta (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi ),4\theta \equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2\pi )$$を得る。非実数であるものは$\alpha =i,-i$である。よって非実根の組は$i,-i$であり，(1)の各$r$に対して$$f(x)=(x-r)(x^2+1)$$となる。

以上から候補は$$\begin{array}{c}{\displaystyle x^3-1,x^3+1,x^3+x,}\\ {\displaystyle x^3-x^2+x-1,x^3+x^2+x+1}\end{array}$$である。各候補について根を3乗すれば同じ根集合に戻り，かつ非実根をもつので，すべて条件を満たす。