京都大学 2019年度理系数学第2問解答・解説

問題

$f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 2$ とする。 $∣ f (n) ∣$ と $∣ f (n + 1) ∣$ がともに素数となる整数 $n$ をすべて求めよ。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第2問

連続する $n, n + 1$ の一方は偶数である。偶数 $k$ では $f (k)$ も偶数なので、絶対値が素数なら2に限られる。方程式 $f (k) = \pm 2$ を因数分解して偶数候補を決め、最後に4候補を代入確認する。

偶数を代入した値を8を法として調べる。 $f (k) \equiv 2 (mod 8)$ により、 $∣ f (k) ∣ = 2$ のうち負の場合を合同式だけで除外できる。残る方程式を解き、連続2整数のどちらが偶数かで戻す。

まず偶数 $k$ について考える。

f (k) = k^{3} + 2 k^{2} + 2 = k^{2} (k + 2) + 2

は偶数である。 $∣ f (k) ∣$ が素数なら、偶数の素数は2だけなので

f (k) = 2 または f (k) = - 2

である。

$f (k) = 2$ のとき

k^{2} (k + 2) = 0

より $k = 0, - 2$ を得る。 $f (k) = - 2$ のとき

k^{2} (k + 2) = - 4

である。しかし $k = 2 m$ とおけば左辺は

8 m^{2} (m + 1)

となり8の倍数なので、 $- 4$ にはならない。したがって、偶数 $k$ について $∣ f (k) ∣$ が素数となるのは

k = 0, - 2

だけである。

$n$ が偶数なら $k = n$ として $n = 0, - 2$ 、 $n$ が奇数なら $k = n + 1$ として $n = - 1, - 3$ を得る。候補を確認すると

n - 3 - 2 - 1 0 f (n) - 7 232 f (n + 1) 2325

であり、いずれも2つの絶対値は素数である。よって

n = - 3, - 2, - 1, 0

である。

偶数 $k = 2 m$ に対して

f (k) = 8 m^{3} + 8 m^{2} + 2 \equiv 2 (mod 8)

である。 $f (k)$ は偶数だから、 $∣ f (k) ∣$ が素数なら $f (k) = \pm 2$ である。ただし

- 2 \equiv 6 (mod 8)

なので、合同式から $f (k) = - 2$ は起こらない。したがって

f (k) = 2

であり、

k^{2} (k + 2) = 0

から $k = 0, - 2$ となる。

連続する $n, n + 1$ のうち偶数である方を $k$ とする。 $k = n$ なら $n = 0, - 2$ 、 $k = n + 1$ なら $n = - 1, - 3$ である。これらは解法1の表のとおり、もう一方の値の絶対値も素数となる。ゆえに

n = - 3, - 2, - 1, 0

である。