京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

まず偶数 $k$ について考える。$$f(k)=k^3+2k^2+2=k^2(k+2)+2$$は偶数である。$\mathrm{\mid }f(k)\mathrm{\mid }$ が素数なら、偶数の素数は2だけなので$$f(k)=2\text{または}f(k)=-2$$である。

$f(k)=2$ のとき$$k^2(k+2)=0$$より $k=0,-2$ を得る。$f(k)=-2$ のとき$$k^2(k+2)=-4$$である。しかし $k=2m$ とおけば左辺は$$8m^2(m+1)$$となり8の倍数なので、$-4$ にはならない。したがって、偶数 $k$ について $\mathrm{\mid }f(k)\mathrm{\mid }$ が素数となるのは$$k=0,-2$$だけである。

$n$ が偶数なら $k=n$ として $n=0,-2$、$n$ が奇数なら $k=n+1$ として $n=-1,-3$ を得る。候補を確認すると$$\begin{array}{ccc}n& f(n)& f(n+1)\\ -3& -7& 2\\ -2& 2& 3\\ -1& 3& 2\\ 0& 2& 5\end{array}$$であり、いずれも2つの絶対値は素数である。よって$$n=-3,-2,-1,0$$である。

偶数を代入した値を8を法として調べる。$f(k)\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ により、$\mathrm{\mid }f(k)\mathrm{\mid }=2$ のうち負の場合を合同式だけで除外できる。残る方程式を解き、連続2整数のどちらが偶数かで戻す。

偶数 $k=2m$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(k)}& {\displaystyle =8m^3+8m^2+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)}\end{array}$$である。$f(k)$ は偶数だから、$\mathrm{\mid }f(k)\mathrm{\mid }$ が素数なら $f(k)=\pm 2$ である。ただし$$-2\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$なので、合同式から $f(k)=-2$ は起こらない。したがって$$f(k)=2$$であり、$$k^2(k+2)=0$$から $k=0,-2$ となる。

連続する $n,n+1$ のうち偶数である方を $k$ とする。$k=n$ なら $n=0,-2$、$k=n+1$ なら $n=-1,-3$ である。これらは解法1の表のとおり、もう一方の値の絶対値も素数となる。ゆえに$$n=-3,-2,-1,0$$である。