京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $0<\theta <\pi \mathrm{/}2$では$f_n(\theta )>0$であるから，$$\log f_n(\theta )=\log (1+\cos \theta )+(n-1)\log (\sin \theta )$$ を考える。これを微分すると$$\frac{d}{d\theta }\log f_n(\theta )=-\frac{\sin \theta }{1+\cos \theta }+(n-1)\frac{\cos \theta }{\sin \theta }$$である。通分して整理すると $$\frac{d}{d\theta }\log f_n(\theta )=\frac{n\cos \theta -1}{\sin \theta }$$ となる。したがって内部の極値は $\cos \theta =\frac{1}{n}$ で起こる。 $\theta$が$0$から$\pi \mathrm{/}2$へ増えると$\cos \theta$は1から0へ減少するので，$n\cos \theta -1$は正から負へ変わる。よってこの点で最大をとる。端点では $$f_n(0)=0,f_n\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$$ であり，内部の値は $(1+\frac{1}{n}){(1-\frac{1}{n^2})}^{(n-1)\mathrm{/}2}$ である。これは$n\geqq 2$で1以上なので，最大値は である。

(2)
(1)より$$(M_n{)}^n={(1+\frac{1}{n})}^n{(1-\frac{1}{n^2})}^{n(n-1)\mathrm{/}2}$$である。第1因子は $${(1+\frac{1}{n})}^n\to e$$ である。第2因子は$${(1-\frac{1}{n^2})}^{n(n-1)\mathrm{/}2}={\left\{{(1-\frac{1}{n^2})}^{n^2}\right\}}^{(n-1)\mathrm{/}(2n)}$$と書ける。ここで$${(1-\frac{1}{n^2})}^{n^2}\to e^{-1},\frac{n-1}{2n}\to \frac{1}{2}$$であるから，第2因子は$e^{-1\mathrm{/}2}$へ収束する。

したがって である。

$x=\cos \theta$と置いて，三角関数の最大化を区間$[0,1]$上の代数関数の最大化へ変える。対数微分すると符号が$1-nx$だけで決まり，最大点$x=1\mathrm{/}n$が直接得られる。極限は$\log (M_n{)}^n$を計算して指数関数へ戻す。

(1) $x=\cos \theta$とおく。$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$に対して$0\leqq x\leqq 1$であり，$$\sin \theta =\sqrt{1-x^2}$$だから$$F_n(x)=(1+x)(1-x^2{)}^{(n-1)\mathrm{/}2}$$の最大値を求めればよい。$0<x<1$で対数微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{d}{dx}\log F_n(x)}& {\displaystyle =\frac{1}{1+x}-\frac{(n-1)x}{1-x^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1-nx}{1-x^2}\mathrm{.}}\end{array}$$分母は正であるから，$F_n$は$0<x<1\mathrm{/}n$で増加し，$1\mathrm{/}n<x<1$で減少する。端点では$F_n(0)=1,F_n(1)=0$なので，最大値は$x=1\mathrm{/}n$で取り，である。

(2) 正の数なので対数を取ると$$\log (M_n{)}^n=n\log (1+\frac{1}{n})+\frac{n(n-1)}{2}\log (1-\frac{1}{n^2})\mathrm{.}$$第1項は1へ収束する。また$t\to 0$で$\log (1+t)\mathrm{/}t\to 1$を用いると$$\frac{n(n-1)}{2}\log (1-\frac{1}{n^2})=-\frac{n-1}{2n}\frac{\log (1-1\mathrm{/}{n}^2)}{-1\mathrm{/}{n}^2}⟶-\frac{1}{2}\mathrm{.}$$よって$\log (M_n{)}^n\to 1\mathrm{/}2$であり，指数関数に戻してを得る。