京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$y$を固定して考える。図形$D$上の点は平面$y=z$上にあるので，座標は $(x,y,y)$ と書ける。この点から$y$軸までの距離は，$x,z$方向の距離であるから $\sqrt{x^2+y^2}$ である。

ここで $$b(y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}-1$$ とおく。固定した$y$に対して，$D$は $-b(y)\leqq x\leqq b(y)$ を満たす線分である。これを$y$軸のまわりに回転すると，$x=0$の点が半径$y$の円を作り，$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=b(y)$の点が半径$\sqrt{y^2+b(y{)}^2}$の円を作る。したがって断面は円環であり，その面積は $$\pi \{y^2+b(y{)}^2\}-\pi y^2=\pi b(y{)}^2$$ である。

よって体積$V$は $$V=\pi {\int }_0^{\log a}{(\frac{e^y+e^{-y}}{2}-1)}^{2}dy$$ である。被積分関数を展開すると$${(\frac{e^y+e^{-y}}{2}-1)}^2=\frac{e^{2y}}{4}-e^y+\frac{3}{2}-e^{-y}+\frac{e^{-2y}}{4}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \int {(\frac{e^y+e^{-y}}{2}-1)}^{2}dy}& {\displaystyle =\frac{e^{2y}}{8}-e^y+\frac{3}{2}y+e^{-y}-\frac{e^{-2y}}{8}}\end{array}$$である。

これを$0$から$\log a$まで代入する。$y=\log a$では$e^y=a$，$e^{-y}=1\mathrm{/}a$であり，$y=0$では原始関数の値が $\frac{1}{8}-1+0+1-\frac{1}{8}=0$ となる。よってである。

断面が円環になることを確認した後，被積分関数を指数関数で展開せず，双曲線関数の恒等式で整理する。$b(y)=\cosh y-1$とし，${\cosh }^{2}y=(1+\cosh 2y)\mathrm{/}2$を使えば原始関数が短くなる。最後に$y=\log a$での$\sinh y,\sinh 2y$を$a$で表す。

$y$を固定すると，平面$y=z$上の点は$(x,y,y)$であり，$y$軸からの距離は$\sqrt{x^2+y^2}$である。$$b(y)=\frac{e^y+e^{-y}}{2}-1=\cosh y-1$$とおく。線分$-b(y)\leqq x\leqq b(y)$を回転すると，内半径$y$，外半径$\sqrt{y^2+b(y{)}^2}$の円環になる。したがって断面積は$$\pi \{y^2+b(y{)}^2\}-\pi y^2=\pi b(y{)}^2$$であり，体積は$$V=\pi {\int }_0^{\log a}(\cosh y-1{)}^{2}dy$$となる。

ここで$$(\cosh y-1{)}^2=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cosh 2y-2\cosh y$$だから$$V=\pi {[\frac{3}{2}y+\frac{1}{4}\sinh 2y-2\sinh y]}_0^{\log a}\mathrm{.}$$$L=\log a$とおけば$$\sinh L=\frac{a-a^{-1}}{2},\sinh 2L=\frac{a^2-a^{-2}}{2}$$である。よって