京都大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$f(x)$の根を$\alpha ,\beta$とする。条件（イ）より，$f(x)=0$の根$\gamma$を代入すると $f({\gamma }^3)=0$ でなければならない。したがって，根の集合は3乗をとる操作で閉じている。

まず重根の場合を確認する。$f(x)=(x-\alpha {)}^2$なら，条件（イ）から${\alpha }^3=\alpha$が必要である。よって $\alpha =0,1,-1$ であり，このとき係数は実数になるので条件（ロ）に反する。したがって，条件を満たすものは異なる2根をもつ場合に限られる。

異なる2根の集合を$S=\{\alpha ,\beta \}$とする。各根を3乗しても$S$に残る。根が3乗で自分自身に戻る固定点なら，$z^3=z$ より$z=0,1,-1$である。2根がともに固定点なら係数は実数となり，不適である。

次に，一方の根が固定点で，もう一方の根がその固定点へ移る場合を考える。固定点が0なら，$z^3=0$より$z=0$となって2根が異なることに反する。固定点が1なら，もう一方の根は1以外の3乗根であり，$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。したがって $x^2-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ $x^2-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を得る。固定点が$-1$なら，もう一方の根は$-1$以外の$-1$の3乗根であり，$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。したがって $x^2+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ $x^2+(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ を得る。

最後に，2根が3乗で入れ替わる場合を考える。${\alpha }^3=\beta$，${\beta }^3=\alpha$とすると，${\alpha }^9=\alpha$ である。$\alpha =0$なら$\beta =0$となり異なる2根ではないので，$\alpha \mathrm{\ne }0$である。よって ${\alpha }^8=1$ である。8乗根のうち，3乗で入れ替わる組は$$\{e^{\pi i\mathrm{/}4},e^{3\pi i\mathrm{/}4}\},\{i,-i\},\{e^{5\pi i\mathrm{/}4},e^{7\pi i\mathrm{/}4}\}$$である。このうち$\{i,-i\}$からは$x^2+1$ができ，係数が実数なので条件（ロ）に反する。残りの2組から $x^2-\sqrt{2}ix-1,x^2+\sqrt{2}ix-1$ を得る。

以上の候補はいずれも，根を3乗すると同じ2根の集合に入るため条件（イ）を満たし，かつ係数の少なくとも一方が虚数である。したがって求める2次式は$$\begin{array}{c}{\displaystyle x^2-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,}\\ {\displaystyle x^2-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,}\\ {\displaystyle x^2+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,}\\ {\displaystyle x^2+(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,}\\ {\displaystyle x^2-\sqrt{2}ix-1,x^2+\sqrt{2}ix-1}\end{array}$$である。

$f(x^3)$を$f(x)$で割った余りを係数比較で0にする代数的解法。$x^2\equiv -ax-b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f(x))$から$x^3$の1次式表示を作り，余りの$x$係数と定数項を因数分解する。根の写像を場合分けせず，連立代数方程式として全候補を得る。

$f(x)=x^2+ax+b$とする。$f(x)$を法として$$x^2\equiv -ax-b,x^3\equiv (a^2-b)x+ab$$である。$u=a^2-b,v=ab$とおけば，$$f(x^3)\equiv (ux+v{)}^2+a(ux+v)+b\mathrm{.}$$ここで再び$x^2\equiv -ax-b$を使うと，余りは$$\{-a{u}^2+2uv+au\}x+\{-b{u}^2+v^2+av+b\}$$となる。したがって割り切れるための必要十分条件は，整理して$$\begin{array}{cccc}& -a(a^2-b)(a^2-3b-1)=0,& & \text{(1)}\end{array}$$$$\begin{array}{cccc}& -b(a^4-3a^{2}b-a^2+b^2-1)=0& & \text{(2)}\end{array}$$である。

$a=0$なら(2)は$-b(b^2-1)=0$となり，$b=0,\pm 1$である。また$b=0$なら(1)は$-a^3(a^2-1)=0$となり，$a=0,\pm 1$である。いずれも係数は実数なので条件（ロ）を満たさない。以下$a,b\mathrm{\ne }0$とする。

(1) より，まず$b=a^2$の場合を考える。(2)へ代入すると$$a^2(a^2-a+1)(a^2+a+1)=0$$となる。$a\mathrm{\ne }0$なので，$a^2-a+1=0$または$a^2+a+1=0$である。これらから$$\begin{array}{cccc}& \begin{array}{c}{\displaystyle x^2-(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,}\\ {\displaystyle x^2-(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,}\\ {\displaystyle x^2+(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,}\\ {\displaystyle x^2+(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}\end{array}& & \text{(3)}\end{array}$$を得る。

次に$a^2-3b-1=0$，すなわち$b=(a^2-1)\mathrm{/}3$の場合，(2)は$$(a-2)(a-1)(a+1)(a+2)(a^2+2)=0$$となる。$a=\pm 1,\pm 2$では係数が実数なので除外し，$a=\pm \sqrt{2}i$から$$\begin{array}{cccc}& x^2-\sqrt{2}ix-1,x^2+\sqrt{2}ix-1& & \text{(4)}\end{array}$$を得る。

(1) の因数をすべて調べたので分類は尽くされている。(3),(4)はいずれも(1),(2)を満たし，非実係数をもつ。したがって求める2次式は(3),(4)の6個である。