京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

$$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$ とおく。すると ${\omega }^3=1$，$$\bar{\omega }={\omega }^2$$，$$\overline{{\omega }^2}=\omega$$ である。したがって $z_n$ は常に $1,\omega ,{\omega }^2$ のいずれかである。 $n$ 回後に $1,\omega ,{\omega }^2$ となる表裏の列の数をそれぞれ $a_n,b_n,c_n$ とする。表が出ると $\omega$ を掛けるので指数が1増え，裏が出ると共役になるので $\omega$ と ${\omega }^2$ が入れ替わり，$1$ はそのままである。よって $$a_{n+1}=a_n+c_n,b_{n+1}=a_n+c_n,c_{n+1}=2b_n$$ である。

1回目では，裏なら $1$，表なら $\omega$ であるから $$a_1=1,b_1=1,c_1=0$$ である。上の漸化式の第1式と第2式は同じ形なので，$a_1=b_1$ から帰納的に $a_n=b_n$ である。また全事象数は $2^n$ 通りなので $a_n+b_n+c_n=2^n$ であり，$c_n=2^n-2a_n$ である。したがって $a_{n+1}=a_n+c_n=2^n-a_n$ を得る。

この漸化式を解く。$a_{n+1}+a_n=2^n$ であり，$a_1=1$ である。ここから $$a_n=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}$$ が成り立つことは帰納法で確認できる。実際，この式が $n$ で成り立つとすると$$a_{n+1}=2^n-a_n=2^n-\frac{2^n-(-1{)}^n}{3}=\frac{2^{n+1}+(-1{)}^n}{3}=\frac{2^{n+1}-(-1{)}^{n+1}}{3}$$である。

したがって求める確率は $$\frac{a_n}{2^n}=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3\cdot 2^n}$$ である。

3状態 $1,\omega ,{\omega }^2$ にいる確率を直接置く。遷移を表にすると，次時刻に $1$ と $\omega$ にいる確率は常に等しい。全確率が1であることを使い，$p_n=P(z_n=1)$ だけの1次漸化式 $p_{n+1}=(1-p_n)\mathrm{/}2$ に落として解く。

$$\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$とおくと，$${\omega }^3=1,\bar{\omega }={\omega }^2\mathrm{.}$$したがって $z_n$ は $1,\omega ,{\omega }^2$ の3状態だけを取る。

それぞれの状態にいる確率を$$p_n=P(z_n=1),q_n=P(z_n=\omega ),r_n=P(z_n={\omega }^2)$$とする。表・裏による遷移は$$\begin{array}{ccc}\text{現在}& \text{表}& \text{裏}\\ 1& \omega & 1\\ \omega & {\omega }^2& {\omega }^2\\ {\omega }^2& 1& \omega \end{array}$$である。よって$$p_{n+1}=\frac{p_n+r_n}{2},q_{n+1}=\frac{p_n+r_n}{2},r_{n+1}=q_n\mathrm{.}$$最初の2式から $p_{n+1}=q_{n+1}$ であり，初期値も$$p_1=q_1=\frac{1}{2},r_1=0$$だから，すべての $n\geqq 1$ で $p_n=q_n$ である。

全確率より$$r_n=1-p_n-q_n=1-2p_n\mathrm{.}$$したがって$$p_{n+1}=\frac{p_n+1-2p_n}{2}=\frac{1-p_n}{2}\mathrm{.}$$定常値 $1\mathrm{/}3$ を引くと$$p_{n+1}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}(p_n-\frac{1}{3})\mathrm{.}$$$p_1=1\mathrm{/}2$ なので$$p_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}{(-\frac{1}{2})}^{n-1}\mathrm{.}$$ゆえに$$p_n=\frac{2^n-(-1{)}^n}{3\cdot 2^n}\mathrm{.}$$これが求める確率である。