京都大学 2018年度理系数学第4問解答・解説

問題

コインを $n$ 回投げ，複素数 $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ を次のように定める。

(i)1回目に表が出れば

z_{1} = \frac{- 1 + 3 i}{2}

とし，裏が出れば $z_{1} = 1$ とする。

(ii) $k = 2, 3, \dots, n$ のとき， $k$ 回目に表が出れば

z_{k} = \frac{- 1 + 3 i}{2} z_{k - 1}

とし，裏が出れば $z_{k} = \overline{z_{k - 1}}$ とする。ただし， $\overline{z_{k - 1}}$ は $z_{k - 1}$ の共役複素数である。

このとき， $z_{n} = 1$ となる確率を求めよ。

出典：京都大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

解法1

$ω = (- 1 + 3 i) /2$ とおくと $ω^{3} = 1$ であり， $z_{n}$ は $1, ω, ω^{2}$ の3状態だけを動く。表なら指数が1増え，裏なら共役を取るので指数が符号反転する。この3状態で終わる列の数を $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ として遷移式を作る。初期値から $a_{n} = b_{n}$ が保たれることを使い， $a_{n + 1} = 2^{n} - a_{n}$ を解いて，最後に全事象数 $2^{n}$ で割る。

解法2

3状態 $1, ω, ω^{2}$ にいる確率を直接置く。遷移を表にすると，次時刻に $1$ と $ω$ にいる確率は常に等しい。全確率が1であることを使い， $p_{n} = P (z_{n} = 1)$ だけの1次漸化式 $p_{n + 1} = (1 - p_{n}) /2$ に落として解く。

解答

解法1

$ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}$ とおく。すると $ω^{3} = 1$ ， $\overline{ω} = ω^{2}$ ， $\overline{ω^{2}} = ω$ である。したがって $z_{n}$ は常に $1, ω, ω^{2}$ のいずれかである。 $n$ 回後に $1, ω, ω^{2}$ となる表裏の列の数をそれぞれ $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ とする。表が出ると $ω$ を掛けるので指数が1増え，裏が出ると共役になるので $ω$ と $ω^{2}$ が入れ替わり， $1$ はそのままである。よって $a_{n + 1} = a_{n} + c_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + c_{n}, c_{n + 1} = 2 b_{n}$ である。

1回目では，裏なら $1$ ，表なら $ω$ であるから $a_{1} = 1, b_{1} = 1, c_{1} = 0$ である。上の漸化式の第1式と第2式は同じ形なので， $a_{1} = b_{1}$ から帰納的に $a_{n} = b_{n}$ である。また全事象数は $2^{n}$ 通りなので $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 2^{n}$ であり， $c_{n} = 2^{n} - 2 a_{n}$ である。したがって $a_{n + 1} = a_{n} + c_{n} = 2^{n} - a_{n}$ を得る。

この漸化式を解く。 $a_{n + 1} + a_{n} = 2^{n}$ であり， $a_{1} = 1$ である。ここから $a_{n} = \frac{2 ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{3}$ が成り立つことは帰納法で確認できる。実際，この式が $n$ で成り立つとすると

a_{n + 1} = 2^{n} - a_{n} = 2^{n} - \frac{2 ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{3} = \frac{2 ^{n + 1} + ( - 1 ) ^{n}}{3} = \frac{2 ^{n + 1} - ( - 1 ) ^{n + 1}}{3}

である。

したがって求める確率は $\frac{a _{n}}{2 ^{n}} = \frac{2 ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}}$ である。

解法2

ω = \frac{- 1 + 3 i}{2}

とおくと，

ω^{3} = 1, \overline{ω} = ω^{2} .

したがって $z_{n}$ は $1, ω, ω^{2}$ の3状態だけを取る。

それぞれの状態にいる確率を

p_{n} = P (z_{n} = 1), q_{n} = P (z_{n} = ω), r_{n} = P (z_{n} = ω^{2})

とする。表・裏による遷移は

現在 1 ω ω^{2} 表 ω ω^{2} 1 裏 1 ω^{2} ω

である。よって

p_{n + 1} = \frac{p _{n} + r _{n}}{2}, q_{n + 1} = \frac{p _{n} + r _{n}}{2}, r_{n + 1} = q_{n} .

最初の2式から $p_{n + 1} = q_{n + 1}$ であり，初期値も

p_{1} = q_{1} = \frac{1}{2}, r_{1} = 0

だから，すべての $n ≧ 1$ で $p_{n} = q_{n}$ である。

全確率より

r_{n} = 1 - p_{n} - q_{n} = 1 - 2 p_{n} .

したがって

p_{n + 1} = \frac{p _{n} + 1 - 2 p _{n}}{2} = \frac{1 - p _{n}}{2} .

定常値 $1/3$ を引くと

p_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (p_{n} - \frac{1}{3}) .

$p_{1} = 1/2$ なので

p_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1} .

ゆえに

p_{n} = \frac{2 ^{n} - ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}} .

これが求める確率である。

京都大学 2018年度理系数学 第4問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

京都大学 2018年度
理系数学第4問