京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

3解を $z_1,z_2,z_3$ とすると$$z_1+z_2+z_3=-3a\mathrm{.}$$正三角形の重心は中心でもあるから、その中心は複素数 $-a$ で表される。$${\omega }^3=1,1+\omega +{\omega }^2=0$$ を満たす1でない複素数 $\omega$ を取る。中心から3頂点への複素数を$$w,w\omega ,w{\omega }^2$$と書けば、3解は$$-a+w,-a+w\omega ,-a+w{\omega }^2\mathrm{.}$$したがって方程式は$$(z+a{)}^3-w^3=0.$$もとの式と係数を比べて$$b=3a^2,a^3-w^3=1.$$辺長は$$\mathrm{\mid }w-w\omega \mathrm{\mid }=\sqrt{3}\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }$$であり、これが $\sqrt{3}a$ に等しいので $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=a$ である。よって$$\mathrm{\mid }{a}^3-1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{w}^3\mathrm{\mid }=a^3\mathrm{.}$$$a>0$ だから$$a^3=\frac{1}{2},a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}},b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\mathrm{.}$$このとき$$(z+a{)}^3=-a^3\mathrm{.}$$したがって3解は$$-2a,-\frac{a}{2}+\frac{\sqrt{3}a}{2}i,-\frac{a}{2}-\frac{\sqrt{3}a}{2}i\mathrm{.}$$$$a=1\mathrm{/}\sqrt[3]{2}$$ を代入すると$$-\sqrt[3]{4},-\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i,-\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt[3]{2}}i\mathrm{.}$$

$w=z+a$ と平行移動して2次項を消す。中心が原点の正三角形の3頂点は120度回転で入れ替わるため、$w$ の1次項が消えることを使う。

$$w=z+a$$とおく。もとの方程式は$$\begin{array}{cccc}& w^3+(b-3a^2)w+(2a^3-ab+1)=0.& & \text{(1)}\end{array}$$$z$ 平面で正三角形の中心は解の平均 $-a$ だから、$w$ 平面では3解の中心は原点である。中心が原点の正三角形の頂点は$$\rho ,\rho \omega ,\rho {\omega }^2$$と表せる。この3数の2つずつの積の和は$${\rho }^2(\omega +{\omega }^2+{\omega }^3)=0.$$したがって（1）の $w$ の係数は0であり、$$b=3a^2\mathrm{.}$$よって（1）は$$w^3+1-a^3=0.$$正三角形の中心から頂点までの距離は、一辺の長さの $1\mathrm{/}\sqrt{3}$ 倍だから$$\mathrm{\mid }\rho \mathrm{\mid }=a\mathrm{.}$$一方、${\rho }^3=a^3-1$ なので$$\mathrm{\mid }{a}^3-1\mathrm{\mid }=a^3\mathrm{.}$$これを解くと$$a^3=\frac{1}{2},a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}},b=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\mathrm{.}$$さらに $w^3=-a^3$ の3解から$$z=-2a,z=-\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{3}a}{2}i$$を得る。