京都大学 2020年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a, b$ は実数で， $a > 0$ とする． $z$ に関する方程式

z^{3} + 3 a z^{2} + b z + 1 = 0 （＊）

は3つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺の長さが $3 a$ の正三角形の頂点となっているとする．このとき， $a, b$ と（＊）の3つの解を求めよ．

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第1問

解の平均から正三角形の中心を求め、中心から各頂点へのベクトルを $w, w ω, w ω^{2}$ と表す。係数比較と辺長条件から $a, b, w^{3}$ を決める。

$w = z + a$ と平行移動して2次項を消す。中心が原点の正三角形の3頂点は120度回転で入れ替わるため、 $w$ の1次項が消えることを使う。

3解を $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ とすると

z_{1} + z_{2} + z_{3} = - 3 a .

正三角形の重心は中心でもあるから、その中心は複素数 $- a$ で表される。

$ω^{3} = 1, 1 + ω + ω^{2} = 0$ を満たす1でない複素数 $ω$ を取る。中心から3頂点への複素数を

w, w ω, w ω^{2}

と書けば、3解は

- a + w, - a + w ω, - a + w ω^{2} .

したがって方程式は

(z + a)^{3} - w^{3} = 0.

もとの式と係数を比べて

b = 3 a^{2}, a^{3} - w^{3} = 1.

辺長は

∣ w - w ω ∣ = 3 ∣ w ∣

であり、これが $3 a$ に等しいので $∣ w ∣ = a$ である。よって

∣ a^{3} - 1∣ = ∣ w^{3} ∣ = a^{3} .

$a > 0$ だから

a^{3} = \frac{1}{2}, a = \frac{1}{3 2}, b = \frac{3}{3 4} .

このとき

(z + a)^{3} = - a^{3} .

したがって3解は

- 2 a, - \frac{a}{2} + \frac{3 a}{2} i, - \frac{a}{2} - \frac{3 a}{2} i .

$a = 1/ 32$ を代入すると

- 34, - \frac{1}{2 3 2} + \frac{3}{2 3 2} i, - \frac{1}{2 3 2} - \frac{3}{2 3 2} i .

w = z + a

とおく。もとの方程式は

w^{3} + (b - 3 a^{2}) w + (2 a^{3} - ab + 1) = 0. (1)

$z$ 平面で正三角形の中心は解の平均 $- a$ だから、 $w$ 平面では3解の中心は原点である。中心が原点の正三角形の頂点は

ρ, ρ ω, ρ ω^{2}

と表せる。この3数の2つずつの積の和は

ρ^{2} (ω + ω^{2} + ω^{3}) = 0.

したがって（1）の $w$ の係数は0であり、

b = 3 a^{2} .

よって（1）は

w^{3} + 1 - a^{3} = 0.

正三角形の中心から頂点までの距離は、一辺の長さの $1/ 3$ 倍だから

∣ ρ ∣ = a .

一方、 $ρ^{3} = a^{3} - 1$ なので

∣ a^{3} - 1∣ = a^{3} .

これを解くと

a^{3} = \frac{1}{2}, a = \frac{1}{3 2}, b = \frac{3}{3 4} .

さらに $w^{3} = - a^{3}$ の3解から

z = - 2 a, z = - \frac{a}{2} \pm \frac{3 a}{2} i

を得る。