京都大学 2017年度理系数学第1問解答・解説

問題

$w$ を0でない複素数とし、実数 $x, y$ を

w + \frac{1}{w} = x + y i

によって定める。

(1) $R > 1$ を満たす実数 $R$ を定数とする。 $w$ が絶対値 $R$ の複素数全体を動くとき、 $x y$ 平面上の点 $(x, y)$ の軌跡を求めよ。

(2) $0 < α < \frac{π}{2}$ を満たす実数 $α$ を定数とする。 $w$ が偏角 $α$ の複素数全体を動くとき、 $x y$ 平面上の点 $(x, y)$ の軌跡を求めよ。

出典：京都大学 2017年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

$w$ を極形式で表す。(1)では $∣ w ∣ = R$ を固定し，偏角を動かすと $x, y$ が $cos θ, sin θ$ の定数倍で表されるので楕円になる。(2)では偏角 $α$ を固定し， $∣ w ∣ = r$ を正に動かす。 $r + 1/ r$ と $r - 1/ r$ の間の恒等式から双曲線を得るが， $r + 1/ r ≧ 2$ により右側の1枝だけであることを確認する。

解法2

(1)は $w = u + v i$ と直交座標で置き、 $∣ w ∣ = R$ を直接用いて $x, y$ が $u, v$ の定数倍になることから楕円を得る。(2)は $x / cos α$ と $y / sin α$ を作り、その差の平方が4になる恒等式と符号条件で双曲線の右枝に限定する。

解答

解法1

(1)

$∣ w ∣ = R$ なので $w = R (cos θ + i sin θ)$ とおける。このとき $\frac{1}{w} = \frac{1}{R} (cos θ - i sin θ)$ である。したがって

w + \frac{1}{w} = (R + \frac{1}{R}) cos θ + i (R - \frac{1}{R}) sin θ

であり，

x = (R + \frac{1}{R}) cos θ, y = (R - \frac{1}{R}) sin θ

である。 $R > 1$ よりどちらの係数も正であるから， $θ$ を動かすと軌跡は

\frac{x ^{2}}{( R + \frac{1}{R} ) ^{2}} + \frac{y ^{2}}{( R - \frac{1}{R} ) ^{2}} = 1

で表される楕円である。

(2)

偏角が $α$ であるから， $r > 0$ を用いて $w = r (cos α + i sin α)$ とおける。このとき $\frac{1}{w} = \frac{1}{r} (cos α - i sin α)$ である。よって

x = (r + \frac{1}{r}) cos α, y = (r - \frac{1}{r}) sin α

である。

ここで $(r + \frac{1}{r})^{2} - (r - \frac{1}{r})^{2} = 4$ だから

(\frac{x}{cos α})^{2} - (\frac{y}{sin α})^{2} = 4

を得る。さらに $r > 0$ より $r + \frac{1}{r} ≧ 2$ であり， $0 < α < π /2$ なので $cos α > 0$ である。したがって $x ≧ 2 cos α$ も必要である。

逆に，この双曲線上で $x ≧ 2 cos α$ を満たす点については， $r + 1/ r = x / cos α ≧ 2$ となる正の $r$ が存在し，対応する $y$ も上式で決まる。よって求める軌跡は

\frac{x ^{2}}{cos ^{2} α} - \frac{y ^{2}}{sin ^{2} α} = 4, x ≧ 2 cos α

で表される双曲線の右側の枝である。

解法2

(1)

$w = u + v i$ とおく。 $∣ w ∣ = R$ より

u^{2} + v^{2} = R^{2}, \frac{1}{w} = \frac{u - v i}{R ^{2}} .

したがって

x = (1 + \frac{1}{R ^{2}}) u, y = (1 - \frac{1}{R ^{2}}) v .

これを $u^{2} + v^{2} = R^{2}$ へ代入すると

\frac{x ^{2}}{( R + \frac{1}{R} ) ^{2}} + \frac{y ^{2}}{( R - \frac{1}{R} ) ^{2}} = 1.

$R > 1$ なので退化せず、軌跡はこの楕円全体である。

(2)

$w$ の偏角が $α$ なので、ある $r > 0$ により

w = r (cos α + i sin α) .

実部・虚部から

\frac{x}{cos α} = r + \frac{1}{r}, \frac{y}{sin α} = r - \frac{1}{r} .

両式の平方の差をとると

\frac{x ^{2}}{cos ^{2} α} - \frac{y ^{2}}{sin ^{2} α} = 4.

さらに相加相乗平均より

\frac{x}{cos α} = r + \frac{1}{r} ≧ 2.

$0 < α < π /2$ だから

x ≧ 2 cos α .

よって軌跡は

\frac{x ^{2}}{cos ^{2} α} - \frac{y ^{2}}{sin ^{2} α} = 4, x ≧ 2 cos α

で表される双曲線の右枝である。

京都大学 2017年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

京都大学 2017年度
理系数学第1問