京都大学 2017年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=R$なので $$w=R(\cos \theta +i\sin \theta )$$ とおける。このとき $$\frac{1}{w}=\frac{1}{R}(\cos \theta -i\sin \theta )$$ である。したがって$$w+\frac{1}{w}=(R+\frac{1}{R})\cos \theta +i(R-\frac{1}{R})\sin \theta$$であり，$$x=(R+\frac{1}{R})\cos \theta ,y=(R-\frac{1}{R})\sin \theta$$である。$R>1$よりどちらの係数も正であるから，$\theta$を動かすと軌跡は$$\frac{x^2}{{(R+\frac{1}{R})}^2}+\frac{y^2}{{(R-\frac{1}{R})}^2}=1$$で表される楕円である。

(2)
偏角が$\alpha$であるから，$r>0$を用いて $$w=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )$$ とおける。このとき $$\frac{1}{w}=\frac{1}{r}(\cos \alpha -i\sin \alpha )$$ である。よって$$x=(r+\frac{1}{r})\cos \alpha ,y=(r-\frac{1}{r})\sin \alpha$$である。

ここで $${(r+\frac{1}{r})}^2-{(r-\frac{1}{r})}^2=4$$ だから$${\left(\frac{x}{\cos \alpha }\right)}^2-{\left(\frac{y}{\sin \alpha }\right)}^2=4$$を得る。さらに$r>0$より $r+\frac{1}{r}\geqq 2$ であり，$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$なので$\cos \alpha >0$である。したがって $x\geqq 2\cos \alpha$ も必要である。

逆に，この双曲線上で$x\geqq 2\cos \alpha$を満たす点については，$$r+1\mathrm{/}r=x\mathrm{/}\cos \alpha \geqq 2$$となる正の$r$が存在し，対応する$y$も上式で決まる。よって求める軌跡は$$\frac{x^2}{{\cos }^2\alpha }-\frac{y^2}{{\sin }^2\alpha }=4,x\geqq 2\cos \alpha$$で表される双曲線の右側の枝である。

(1) は $w=u+vi$ と直交座標で置き、$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=R$ を直接用いて $x,y$ が $u,v$ の定数倍になることから楕円を得る。(2)は $x\mathrm{/}\cos \alpha$ と $y\mathrm{/}\sin \alpha$ を作り、その差の平方が4になる恒等式と符号条件で双曲線の右枝に限定する。

(1)
$w=u+vi$ とおく。$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=R$ より$$u^2+v^2=R^2,\frac{1}{w}=\frac{u-vi}{R^2}\mathrm{.}$$したがって$$x=(1+\frac{1}{R^2})u,y=(1-\frac{1}{R^2})v\mathrm{.}$$これを $u^2+v^2=R^2$ へ代入すると$$\frac{x^2}{{(R+\frac{1}{R})}^2}+\frac{y^2}{{(R-\frac{1}{R})}^2}=1.$$$R>1$ なので退化せず、軌跡はこの楕円全体である。

(2)
$w$ の偏角が $\alpha$ なので、ある $r>0$ により$$w=r(\cos \alpha +i\sin \alpha )\mathrm{.}$$実部・虚部から$$\frac{x}{\cos \alpha }=r+\frac{1}{r},\frac{y}{\sin \alpha }=r-\frac{1}{r}\mathrm{.}$$両式の平方の差をとると$$\frac{x^2}{{\cos }^2\alpha }-\frac{y^2}{{\sin }^2\alpha }=4.$$さらに相加相乗平均より$$\frac{x}{\cos \alpha }=r+\frac{1}{r}\geqq 2.$$$0<\alpha <\pi \mathrm{/}2$ だから$$x\geqq 2\cos \alpha \mathrm{.}$$よって軌跡は$$\frac{x^2}{{\cos }^2\alpha }-\frac{y^2}{{\sin }^2\alpha }=4,x\geqq 2\cos \alpha$$で表される双曲線の右枝である。