京都大学 2019年度理系数学第6問解答・解説

問題

$(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} > 1 0^{10}$ をみたす最小の正の整数 $n$ を求めよ。ただし， $i$ は虚数単位とする。

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第6問

$1 \pm i$ を極形式にして和を余弦で表す。正の値を取る3つの剰余類ごとに2の累乗へ直し、 $2^{33} < 1 0^{10} < 2^{34}$ と比較して最小の $n$ を決める。

三角関数を使わず、 $(1 \pm i)^{8} = 16$ から数列が8項ごとに16倍されることを用いる。最初の8項の符号と値を計算し、正の剰余類だけを比較する。

1 \pm i = 2 (cos \frac{π}{4} \pm i sin \frac{π}{4})

だから

(1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} = 2 (2)^{n} cos \frac{nπ}{4}

である。この値が正になるのは

n \equiv 0, 1, 7 (mod 8)

のときだけである。 $n = 8 k + r$ と書けば、正の3場合は

r 017 (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n} 2^{4 k + 1} 2^{4 k + 1} 2^{4 k + 4}

となる。

また

2^{33} = 8589934592 < 1 0^{10} < 17179869184 = 2^{34}

である。したがって、右辺を超えるには指数が34以上でなければならない。

$r = 0$ では $4 k + 1 ≧ 34$ より最小でも $n = 72$ 、 $r = 1$ では最小でも $n = 73$ である。 $r = 7$ では

4 k + 4 ≧ 34

を満たす最小の整数は $k = 8$ であり、 $n = 8 \cdot 8 + 7 = 71$ となる。実際、このときの値は $2^{36} > 1 0^{10}$ である。よって最小の正の整数は

n = 71

である。

数列

a_{n} = (1 + i)^{n} + (1 - i)^{n}

を考える。まず

(1 + i)^{2} = 2 i, (1 + i)^{4} = - 4, (1 + i)^{8} = 16

であり、 $1 - i$ についても8乗は16である。よって

a_{n + 8} = 16 a_{n}

が成り立つ。

最初の8項を直接計算すると

n a_{n} 021220 3 - 4 4 - 8 5 - 8 60716

である。したがって正になるのは $n \equiv 0, 1, 7 (mod 8)$ のときであり、 $n = 8 k + r$ に対して

a_{8 k} = 2^{4 k + 1}, a_{8 k + 1} = 2^{4 k + 1}, a_{8 k + 7} = 2^{4 k + 4}

となる。

ここで

2^{33} < 1 0^{10} < 2^{34}

だから、各剰余類で指数が34以上になる最初の項を調べる。順に $n = 72, 73, 71$ であり、その中で最小は

n = 71

である。