京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$$1\pm i=\sqrt{2}(\cos \frac{\pi }{4}\pm i\sin \frac{\pi }{4})$$だから$$(1+i{)}^n+(1-i{)}^n=2(\sqrt{2}{)}^n\cos \frac{n\pi }{4}$$である。この値が正になるのは$$n\equiv 0,1,7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$$のときだけである。$n=8k+r$ と書けば、正の3場合は$$\begin{array}{cc}r& (1+i{)}^n+(1-i{)}^n\\ 0& 2^{4k+1}\\ 1& 2^{4k+1}\\ 7& 2^{4k+4}\end{array}$$となる。

また$$2^{33}=8589934592<{10}^{10}<17179869184=2^{34}$$である。したがって、右辺を超えるには指数が34以上でなければならない。

$r=0$ では $4k+1\geqq 34$ より最小でも $n=72$、$r=1$ では最小でも $n=73$ である。$r=7$ では$$4k+4\geqq 34$$を満たす最小の整数は $k=8$ であり、$n=8\cdot 8+7=71$ となる。実際、このときの値は $2^{36}>{10}^{10}$ である。よって最小の正の整数は$$n=71$$である。

三角関数を使わず、$(1\pm i{)}^8=16$ から数列が8項ごとに16倍されることを用いる。最初の8項の符号と値を計算し、正の剰余類だけを比較する。

数列$$a_n=(1+i{)}^n+(1-i{)}^n$$を考える。まず$$(1+i{)}^2=2i,(1+i{)}^4=-4,(1+i{)}^8=16$$であり、$1-i$ についても8乗は16である。よって$$a_{n+8}=16a_n$$が成り立つ。

最初の8項を直接計算すると$$\begin{array}{crrrrrrrr}n& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7\\ a_n& 2& 2& 0& -4& -8& -8& 0& 16\end{array}$$である。したがって正になるのは $n\equiv 0,1,7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}8)$ のときであり、$n=8k+r$ に対して$$a_{8k}=2^{4k+1},a_{8k+1}=2^{4k+1},a_{8k+7}=2^{4k+4}$$となる。

ここで$$2^{33}<{10}^{10}<2^{34}$$だから、各剰余類で指数が34以上になる最初の項を調べる。順に $n=72,73,71$ であり、その中で最小は$$n=71$$である。