京都大学 2018年度理系数学第1問解答・解説

問題

0でない実数 $a, b, c$ は，次の条件を満たしながら動くものとする。

(i)

1 + c^{2} ≦ 2 a .

(ii)2つの放物線

C_{1} : y = a x^{2}, C_{2} : y = b (x - 1)^{2} + c

は接している。

ただし，2つの曲線が接するとは，ある共有点で共通の接線をもつことをいい，その共有点を接点という。

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ の接点の座標を $a, c$ を用いて表せ。

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ の接点が動く範囲を求め，その範囲を図示せよ。

出典：京都大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

接点の $x$ 座標を $t$ とおき，共有点条件と接線の傾き一致を連立する。傾き一致から $b (t - 1) = a t$ を得て，共有点条件へ代入すると $c = a t$ ，すなわち接点が $(c / a, c^{2} / a)$ と表せる。(2)では接点を $(X, Y)$ として $a = Y / X^{2}$ ， $c = Y / X$ に戻し，条件 $1 + c^{2} ≦ 2 a$ を円板 $X^{2} + (Y - 1)^{2} ≦ 1$ に変換する。最後に $c \neq = 0$ と $t \neq = 1$ から除外される点を確認し，逆にその範囲の点から $a, b, c$ が作れることも示す。

解法2

接点の $x$ 座標 $t$ を媒介変数として残す。接線条件から $c = a t$ を得た後，条件 $1 + c^{2} ≦ 2 a$ を $a$ の2次不等式に直す。判別式と解の範囲から，接点の $y$ 座標が $1 \pm 1 - t^{2}$ の間を動くことを示し，円板を直接得る。

解答

解法1

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。 $C_{1} : y = a x^{2}$ の接線の傾きは $2 a t$ であり， $C_{2} : y = b (x - 1)^{2} + c$ の接線の傾きは $2 b (t - 1)$ である。したがって $2 a t = 2 b (t - 1)$ であり， $b (t - 1) = a t$ を得る。また共有点条件より $a t^{2} = b (t - 1)^{2} + c$ である。ここに $b (t - 1) = a t$ を用いると $a t^{2} = a t (t - 1) + c$ となるから $c = a t$ である。よって $t = \frac{c}{a}$ であり，接点の座標は $(\frac{c}{a}, \frac{c ^{2}}{a})$ である。

なお， $a \neq = 0$ ， $c \neq = 0$ なので $t \neq = 0$ である。また $t = 1$ なら傾き一致式から $a = 0$ となるため，実際には $t \neq = 1$ でもある。

(2)

接点を $(X, Y)$ とおく。(1)より $X = \frac{c}{a}, Y = \frac{c ^{2}}{a}$ である。 $c \neq = 0$ より $X \neq = 0$ であり，このとき $a = \frac{Y}{X ^{2}}, c = \frac{Y}{X}$ である。条件(i)は $1 + (\frac{Y}{X})^{2} ≦ 2 \cdot \frac{Y}{X ^{2}}$ となる。両辺に $X^{2} > 0$ を掛けて整理すると $X^{2} + Y^{2} ≦ 2 Y$ すなわち $X^{2} + (Y - 1)^{2} ≦ 1$ である。

さらに $t = 1$ は許されない。 $t = X$ なので， $X = 1$ を除く必要がある。ただし上の円板上で $X = 1$ を満たす点は $(1, 1)$ だけである。したがって候補は $X^{2} + (Y - 1)^{2} ≦ 1, X \neq = 0, (X, Y) \neq = (1, 1)$ である。

逆に，この条件を満たす点 $(X, Y)$ を任意に取る。円板条件と $X \neq = 0$ から $Y > 0$ である。そこで $a = \frac{Y}{X ^{2}}, c = \frac{Y}{X}, b = \frac{a c}{c - a}$ と定める。 $X \neq = 1$ なので $c - a \neq = 0$ であり， $a, b, c$ はいずれも0でない。このとき $1 + c^{2} ≦ 2 a$ は円板条件そのものであり， $t = X$ で2つの放物線は接する。よって上の候補はすべて実現する。

したがって接点の動く範囲は，中心 $(0, 1)$ ，半径1の閉円板 $X^{2} + (Y - 1)^{2} ≦ 1$ から，直線 $X = 0$ 上の点と点 $(1, 1)$ を除いた部分である。

この範囲を図示すると次の網掛け部分である。赤い破線上の点と白丸は含まない。

解法2

(1)

接点の $x$ 座標を $t$ とする。共有点条件と傾き一致条件は

a t^{2} = b (t - 1)^{2} + c, a t = b (t - 1)

である。第2式を第1式へ用いると

a t^{2} = a t (t - 1) + c

だから

c = a t .

したがって接点は

(t, a t^{2}) = (\frac{c}{a}, \frac{c ^{2}}{a})

である。

(2)

接点を $(t, Y)$ と書けば

c = a t, Y = a t^{2} .

条件 (i) は

1 + a^{2} t^{2} ≦ 2 a,

すなわち

t^{2} a^{2} - 2 a + 1 ≦ 0

となる。

この2次不等式を満たす実数 $a$ が存在するには判別式が非負でなければならないから

4 - 4 t^{2} ≧ 0, ∣ t ∣ ≦ 1.

また $c = a t \neq = 0$ より $t \neq = 0$ ，傾き条件 $a t = b (t - 1)$ と $a \neq = 0$ より $t \neq = 1$ である。

$t \neq = 0$ のもとで $a$ の範囲は

\frac{1 - 1 - t ^{2}}{t ^{2}} ≦ a ≦ \frac{1 + 1 - t ^{2}}{t ^{2}} .

両辺に $t^{2}$ を掛け， $Y = a t^{2}$ を用いると

1 - 1 - t^{2} ≦ Y ≦ 1 + 1 - t^{2} .

これは

t^{2} + (Y - 1)^{2} ≦ 1

と同値である。

逆に，この円板内で $t \neq = 0, 1$ の点 $(t, Y)$ を取れば

a = \frac{Y}{t ^{2}}, c = \frac{Y}{t}, b = \frac{Y}{t ( t - 1 )}

とおくことができる。 $t \neq = 0$ の円板内では $Y > 0$ なので， $a, b, c$ はすべて0でなく，元の条件を満たす。

よって接点の範囲は

X^{2} + (Y - 1)^{2} ≦ 1

から $X = 0$ 上の点と $(1, 1)$ を除いた部分である。

京都大学 2018年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

京都大学 2018年度
理系数学第1問