京都大学 2018年度理系数学第5問解答・解説

問題

曲線 $y = lo g x$ 上の点 $A (t, lo g t)$ における法線上に，点 $B$ を $A B = 1$ となるように取る。ただし， $B$ の $x$ 座標は $t$ より大きいとする。

(1)点 $B$ の座標 $(u (t), v (t))$ を求めよ。また，

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t})

を求めよ。

(2)実数 $r$ は $0 < r < 1$ を満たすとする。 $t$ が $r$ から1まで動くとき，点 $A$ と点 $B$ が描く曲線の長さをそれぞれ $L_{1} (r), L_{2} (r)$ とする。このとき，

r \to + 0 lim (L_{1} (r) - L_{2} (r))

を求めよ。

出典：京都大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

解法1

点 $A (t, lo g t)$ での接線の傾きは $1/ t$ なので，法線方向のうち $x$ 座標が増える向きの単位ベクトルは $(1, - t) / 1 + t^{2}$ である。これを $A$ に足して $B$ を表し， $u^{'} (t), v^{'} (t)$ を求める。曲線の長さは速度の積分なので， $A$ と $B$ の速さを比較する。 $B$ の速さを2乗して整理すると差が簡約され，長さの差は

\int_{r}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}}

となる。

解法2

点 $A$ の単位接ベクトル $T$ と， $x$ 成分が正の単位法ベクトル $N$ を置く。 $B = A + N$ と表し， $N^{'}$ が $T$ の定数倍になることを直接計算する。すると $A^{'}$ と $B^{'}$ が同方向になり，2つの速さの差がただちに $1/ (1 + t^{2})$ と分かる。

解答

解法1

(1)

曲線 $y = lo g x$ の $x = t$ における接線の傾きは $\frac{1}{t}$ である。したがって法線の傾きは $- t$ であり，法線方向のベクトルとして $(1, - t)$ を取れる。 $B$ の $x$ 座標は $t$ より大きいので，向きは $(1, - t)$ の向きである。長さ1の単位ベクトルは $\frac{( 1 , - t )}{1 + t ^{2}}$ であるから， $B = (t, lo g t) + \frac{( 1 , - t )}{1 + t ^{2}}$ である。よって $u (t) = t + \frac{1}{1 + t ^{2}}, v (t) = lo g t - \frac{t}{1 + t ^{2}}$ である。

微分すると $\frac{d u}{d t} = 1 - \frac{t}{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}}$ である。また $\frac{d}{d t} (\frac{t}{1 + t ^{2}}) = \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}}$ なので $\frac{d v}{d t} = \frac{1}{t} - \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}}$ である。

(2)

点 $A$ の速度ベクトルは $(1, \frac{1}{t})$ であるから，速さは $1 + \frac{1}{t ^{2}} = \frac{1 + t ^{2}}{t}$ である。

次に点 $B$ の速さを求める。 $s = 1 + t^{2}$ とおくと，(1)より

(\frac{d u}{d t})^{2} + (\frac{d v}{d t})^{2} = (1 - \frac{t}{s ^{3}})^{2} + (\frac{1}{t} - \frac{1}{s ^{3}})^{2}

である。展開して整理すると

(\frac{d u}{d t})^{2} + (\frac{d v}{d t})^{2} = \frac{s ^{2}}{t ^{2}} - \frac{2}{t s} + \frac{1}{s ^{4}} = (\frac{s}{t} - \frac{1}{s ^{2}})^{2}

である。 $t > 0$ で右辺の括弧内は正なので，点 $B$ の速さは $\frac{1 + t ^{2}}{t} - \frac{1}{1 + t ^{2}}$ である。

したがって， $t$ が $r$ から1まで動くときの長さの差は

L_{1} (r) - L_{2} (r) = \int_{r}^{1} {\frac{1 + t ^{2}}{t} - (\frac{1 + t ^{2}}{t} - \frac{1}{1 + t ^{2}})} d t

すなわち $L_{1} (r) - L_{2} (r) = \int_{r}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}}$ である。よって $lim_{r \to + 0} (L_{1} (r) - L_{2} (r)) = \int_{0}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = \frac{π}{4}$ である。

解法2

(1)

点 $A (t, lo g t)$ の速度ベクトルは

A^{'} (t) = (1, \frac{1}{t}) .

接線方向の単位ベクトルと， $x$ 成分が正の法線方向の単位ベクトルを

T (t) = \frac{( t , 1 )}{1 + t ^{2}}, N (t) = \frac{( 1 , - t )}{1 + t ^{2}}

とおく。 $A B = 1$ で $B$ の $x$ 座標が大きいから

B (t) = A (t) + N (t) .

よって

u (t) = t + \frac{1}{1 + t ^{2}}, v (t) = lo g t - \frac{t}{1 + t ^{2}} .

微分して

(\frac{d u}{d t}, \frac{d v}{d t}) = (1 - \frac{t}{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}}, \frac{1}{t} - \frac{1}{( 1 + t ^{2} ) ^{3/2}}) .

(2)

$s = 1 + t^{2}$ とおく。まず

A^{'} (t) = \frac{s}{t} T (t)

である。また

N^{'} (t) = (- \frac{t}{s ^{3}}, - \frac{1}{s ^{3}}) = - \frac{1}{s ^{2}} T (t) .

したがって

B^{'} (t) = A^{'} (t) + N^{'} (t) = (\frac{s}{t} - \frac{1}{s ^{2}}) T (t) .

$t > 0$ では括弧内は正なので，点 $A, B$ の速さはそれぞれ

\frac{s}{t}, \frac{s}{t} - \frac{1}{s ^{2}}

である。よって

L_{1} (r) - L_{2} (r) = \int_{r}^{1} \frac{1}{s ^{2}} d t = \int_{r}^{1} \frac{d t}{1 + t ^{2}} = \frac{π}{4} - arctan r .

したがって

r \to + 0 lim (L_{1} (r) - L_{2} (r)) = \frac{π}{4} .

京都大学 2018年度理系数学 第5問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

(1)

(2)

解法2

(1)

(2)

京都大学 2018年度
理系数学第5問