京都大学 2018年度
理系数学 第3問

解答

解法1

辺 $AB,BC,CD,DA$ に対応する中心角をそれぞれ $x,y,z,w$ とする。円の半径は1なので，中心角が $\varphi$ である弦の長さは $2\sin \frac{\varphi }{2}$ である。

円周角 $\angle ABC$ は，点 $B$ を含まない弧 $ADC$ に対応するので $\frac{w+z}{2}=\alpha$ である。また $\angle DAB$ は，点 $A$ を含まない弧 $DCB$ に対応するので $\frac{z+y}{2}=\alpha$ である。したがって $w+z=2\alpha ,z+y=2\alpha$ であり，$w=y$ を得る。

ここで $u=\frac{y}{2}=\frac{w}{2}$ とおく。すると $\frac{z}{2}=\alpha -u$ であり，中心角の和 $x+y+z+w=2\pi$ から $\frac{x}{2}=\pi -\alpha -u$ である。よって $\sin \frac{x}{2}=\sin (\alpha +u)$ である。

したがって4辺の長さの積は $k=16\sin (\alpha +u)\sin u\sin (\alpha -u)\sin u$ である。ここで $\sin (\alpha +u)\sin (\alpha -u)={\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}u$ なので $k=16({\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}u){\sin }^{2}u$ である。$0\leqq u\leqq \alpha$ であり，$0<\alpha \leqq \pi /2$ だから，$v={\sin }^{2}u$ は $0\leqq v\leqq {\sin }^2\alpha$ を動く。ゆえに $k=16({\sin }^2\alpha -v)v$ である。

これは $v$ の2次式であり，最大は $v=\frac{{\sin }^2\alpha }{2}$ のときに起こる。この値は上の範囲に含まれる。したがって最大値は

である。

解法2

円に内接する四角形なので

仮定より $\angle ABC=\angle DAB=\alpha$ だから

特に

であるから $AB\parallel CD$ である。また底辺 $AB$ の両端の角が等しいので，この台形は等脚台形であり

である。

ここで

とおく。対角線 $AC$ は $\angle DAB$ の内部にあるから

半径1の外接円に対して正弦定理を用いると

したがって

$v={\sin }^{2}x$ とおく。$0<x<\alpha \leqq \pi /2$ より

よって

${\sin }^2\alpha /2$ は上の範囲内にあるので，最大値は

である。