京都大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

辺 $AB,BC,CD,DA$ に対応する中心角をそれぞれ $x,y,z,w$ とする。円の半径は1なので，中心角が $\varphi$ である弦の長さは $2\sin \frac{\varphi }{2}$ である。

円周角 $\mathrm{\angle }ABC$ は，点 $B$ を含まない弧 $ADC$ に対応するので $$\frac{w+z}{2}=\alpha$$ である。また $\mathrm{\angle }DAB$ は，点 $A$ を含まない弧 $DCB$ に対応するので $$\frac{z+y}{2}=\alpha$$ である。したがって $$w+z=2\alpha ,z+y=2\alpha$$ であり，$w=y$ を得る。

ここで $$u=\frac{y}{2}=\frac{w}{2}$$ とおく。すると $$\frac{z}{2}=\alpha -u$$ であり，中心角の和 $x+y+z+w=2\pi$ から $$\frac{x}{2}=\pi -\alpha -u$$ である。よって $$\sin \frac{x}{2}=\sin (\alpha +u)$$ である。

したがって4辺の長さの積は $$k=16\sin (\alpha +u)\sin u\sin (\alpha -u)\sin u$$ である。ここで $$\sin (\alpha +u)\sin (\alpha -u)={\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}u$$ なので $$k=16({\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}u){\sin }^{2}u$$ である。$0\leqq u\leqq \alpha$ であり，$0<\alpha \leqq \pi \mathrm{/}2$ だから，$v={\sin }^{2}u$ は $$0\leqq v\leqq {\sin }^2\alpha$$ を動く。ゆえに $k=16({\sin }^2\alpha -v)v$ である。

これは $v$ の2次式であり，最大は $$v=\frac{{\sin }^2\alpha }{2}$$ のときに起こる。この値は上の範囲に含まれる。したがって最大値は$$16\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{2}\cdot \frac{{\sin }^2\alpha }{2}=4{\sin }^4\alpha$$である。

円に内接する四角形の対角の和が $\pi$ であることから $AB\parallel CD$ を示し，等脚台形 $AD=BC$ を得る。対角線 $AC$ で分け，$x=\mathrm{\angle }BAC$ とおく。半径1の外接円に対する正弦定理で4辺を $2\sin x$，$2\sin (\alpha \pm x)$ と表し，${\sin }^{2}x$ の2次式を最大化する。

円に内接する四角形なので$$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }ADC=\pi ,\mathrm{\angle }DAB+\mathrm{\angle }BCD=\pi \mathrm{.}$$仮定より $$\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }DAB=\alpha$$ だから$$\mathrm{\angle }BCD=\mathrm{\angle }ADC=\pi -\alpha \mathrm{.}$$特に$$\mathrm{\angle }ABC+\mathrm{\angle }BCD=\pi$$であるから $AB\parallel CD$ である。また底辺 $AB$ の両端の角が等しいので，この台形は等脚台形であり$$AD=BC$$である。

ここで$$x=\mathrm{\angle }BAC$$とおく。対角線 $AC$ は $\mathrm{\angle }DAB$ の内部にあるから$$0<x<\alpha ,\mathrm{\angle }DAC=\alpha -x\mathrm{.}$$半径1の外接円に対して正弦定理を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle BC}& {\displaystyle =2\sin x,}\\ {\displaystyle AB}& {\displaystyle =2\sin (\alpha +x),}\\ {\displaystyle CD}& {\displaystyle =2\sin (\alpha -x),}\\ {\displaystyle AD}& {\displaystyle =BC=2\sin x\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle k}& {\displaystyle =16{\sin }^{2}x\sin (\alpha +x)\sin (\alpha -x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =16{\sin }^{2}x({\sin }^2\alpha -{\sin }^{2}x)\mathrm{.}}\end{array}$$$v={\sin }^{2}x$ とおく。$0<x<\alpha \leqq \pi \mathrm{/}2$ より$$0<v<{\sin }^2\alpha \mathrm{.}$$よって$$k=16v({\sin }^2\alpha -v)=4{\sin }^4\alpha -16{(v-\frac{{\sin }^2\alpha }{2})}^2\mathrm{.}$$${\sin }^2\alpha \mathrm{/}2$ は上の範囲内にあるので，最大値は$$4{\sin }^4\alpha$$である。