京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

以下$$f=m^3+n^2+n+3$$と書く。

法3では $m^3\equiv m$ である。$n\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ を使うと、$$\{\begin{array}{ll}n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)& \Rightarrow m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),\\ n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)& \Rightarrow m\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}\end{array}$$これを法9まで調べると、9で割り切れるための必要十分条件は$$m\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$である。実際、法9で許される $n$ の剰余$$1,2,4,5,7,8$$と $m$ の剰余を代入すれば、$(m<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>3,n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>9)=(0,2)$ だけが残る。

範囲内で $n\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ となるのは$$n=2,11,20,29.$$$m\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なら $m^3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}27)$ であり、$$n^2+n+3\equiv 9,0,18,9(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}27)$$だから、27で割り切れるには$$n=11$$でなければならない。

このとき$$f(m,11)=m^3+135.$$$m\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のもとで法81を調べると、$$m\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$のときに限って81で割り切れる。範囲内では$$m=3,12,21,30.$$最後に $m=3r$ とおくと$$f(m,11)=27(r^3+5)\mathrm{.}$$上の4つでは $r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であり、法9で $r^3\equiv 1$ だから$$r^3+5\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)\mathrm{.}$$したがって $f$ は81では割り切れるが243では割り切れない。

よって最大値は$$4$$であり、それを与える組は$$(m,n)=(3,11),(12,11),(21,11),(30,11)$$である。

9で割り切れる条件から $m=3r,n=9q+2$ と置く。式を展開すると、27で割れる条件が $q\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$、81で割れる条件が $r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ と順に読める。

まず法9の有限な剰余を調べると$$9\mid f(m,n)⟺m=3r,n=9q+2$$と書ける。

これを代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(m,n)}& {\displaystyle =27r^3+(9q+2{)}^2+(9q+2)+3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9(3r^3+9q^2+5q+1)\mathrm{.}}\end{array}$$27で割り切れる条件は、括弧内が3で割り切れることだから$$2q+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),$$すなわち $q\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。

$1\leqq n\leqq 30$ では $q=0,1,2,3$ なので、$q=1$、したがって$$n=11.$$このとき$$f(3r,11)=27(r^3+5)\mathrm{.}$$81で割り切れる条件は$$r^3+5\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$$r^3\equiv r(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ より$$r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)\mathrm{.}$$$1\leqq m=3r\leqq 30$ だから$$r=1,4,7,10,$$すなわち$$m=3,12,21,30.$$さらに $r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき $r^3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なので$$r^3+5\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)\mathrm{.}$$ゆえに3では割れるが9では割れず、$$B(f)=3+1=4.$$以上より最大値と4組が得られる。