問題
正の整数に対して，
の形に書いたとき，と定める．例えば，である．
は整数で，次の条件を満たすとする．
(i) ．
(ii) ．
(iii) は3で割り切れない．
このようなについて
とするとき，
の最大値を求めよ．また，の最大値を与えるようなをすべて求めよ．
出典：京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
解法1（法を3倍ずつ上げる方法）
法3、9、27、81の順に割り切れる条件を絞る。最大値が4であることを示すため、最後に法243では割り切れないことまで確認する。
解法2（変数を置き換えて3進の指数を追う方法）
9で割り切れる条件から と置く。式を展開すると、27で割れる条件が 、81で割れる条件が と順に読める。
解答
解法1（法を3倍ずつ上げる方法）
以下
と書く。
法3では である。 を使うと、
これを法9まで調べると、9で割り切れるための必要十分条件は
である。実際、法9で許される の剰余
と の剰余を代入すれば、 だけが残る。
範囲内で となるのは
なら であり、
だから、27で割り切れるには
でなければならない。
このとき
のもとで法81を調べると、
のときに限って81で割り切れる。範囲内では
最後に とおくと
上の4つでは であり、法9で だから
したがって は81では割り切れるが243では割り切れない。
よって最大値は
であり、それを与える組は
である。
解法2（変数を置き換えて3進の指数を追う方法）
まず法9の有限な剰余を調べると
と書ける。
これを代入すると
27で割り切れる条件は、括弧内が3で割り切れることだから
すなわち である。
では なので、、したがって
このとき
81で割り切れる条件は
より
だから
すなわち
さらに のとき なので
ゆえに3では割れるが9では割れず、
以上より最大値と4組が得られる。