京都大学 2019年度理系数学第1問解答・解説

問題

次の各問に答えよ。

問1 $0 < θ < \frac{π}{2}$ とする。 $cos θ$ は有理数ではないが， $cos 2 θ$ と $cos 3 θ$ がともに有理数となるような $θ$ の値を求めよ。ただし， $p$ が素数のとき， $p$ が有理数でないことは証明なしに用いてよい。

問2 次の定積分の値を求めよ。

(1) \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{x}{cos ^{2} x} d x (2) \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{cos x}

出典：京都大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

解法1

問1は $X = cos θ$ とおき、2倍角から $X^{2}$ が有理数であることを得る。3倍角を $X (4 X^{2} - 3)$ と表し、 $X$ の無理性を使う。問2(1)は部分積分、(2)は分母を $1 - sin^{2} x$ に変形して積分する。

解法2

問1は $cos 3 θ = cos θ (2 cos 2 θ - 1)$ を直接用い、有理数と無理数の積から係数を0と決める。問2は被積分関数の原始関数を微分で確認し、端点を代入する。

解答

解法1

問1

$X = cos θ$ とおく。条件から $X$ は無理数である。一方、

cos 2 θ = 2 X^{2} - 1

が有理数なので、 $X^{2}$ は有理数である。また

cos 3 θ = X (4 X^{2} - 3)

も有理数であり、 $4 X^{2} - 3$ は有理数である。もし $4 X^{2} - 3 \neq = 0$ なら、上式を $4 X^{2} - 3$ で割ることで $X$ が有理数となり、矛盾する。よって

4 X^{2} - 3 = 0

である。 $0 < θ < π /2$ より $X > 0$ だから

X = \frac{3}{2}

となる。実際、これは無理数であり、 $cos 2 θ = 1/2$ 、 $cos 3 θ = 0$ はともに有理数である。したがって

θ = \frac{π}{6}

である。

問2 (1)

部分積分により

\int_{0}^{π /4} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = [x tan x]_{0}^{π /4} - \int_{0}^{π /4} tan x d x = \frac{π}{4} + [lo g (cos x)]_{0}^{π /4} = \frac{π}{4} - lo g 2

である。

問2 (2)

\frac{1}{cos x} = \frac{1}{2} (\frac{cos x}{1 + sin x} + \frac{cos x}{1 - sin x})

だから

\int_{0}^{π /4} \frac{d x}{cos x} = \frac{1}{2} [lo g (1 + sin x) - lo g (1 - sin x)]_{0}^{π /4} = \frac{1}{2} lo g \frac{2 + 2}{2 - 2} = lo g (1 + 2)

である。

解法2

問1

恒等式

cos 3 θ = cos θ (2 cos 2 θ - 1)

を用いる。 $2 cos 2 θ - 1$ は有理数である。これが0でなければ

cos θ = \frac{cos 3 θ}{2 cos 2 θ - 1}

は有理数となり、条件に反する。したがって

2 cos 2 θ - 1 = 0, cos 2 θ = \frac{1}{2}

である。 $0 < 2 θ < π$ なので $2 θ = π /3$ 、ゆえに

θ = \frac{π}{6}

を得る。

問2 (1)

次の微分を確認する。

\frac{d}{d x} {x tan x + lo g (cos x)} = tan x + \frac{x}{cos ^{2} x} - tan x = \frac{x}{cos ^{2} x}

よって

\int_{0}^{π /4} \frac{x}{cos ^{2} x} d x = [x tan x + lo g (cos x)]_{0}^{π /4} = \frac{π}{4} - lo g 2

である。

問2 (2)

\frac{d}{d x} lo g (sec x + tan x) = sec x = \frac{1}{cos x}

だから

\int_{0}^{π /4} \frac{d x}{cos x} = [lo g (sec x + tan x)]_{0}^{π /4} = lo g (2 + 1)

となる。

京都大学 2019年度理系数学 第1問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

問1

問2 (1)

問2 (2)

解法2

問1

問2 (1)

問2 (2)

京都大学 2019年度
理系数学第1問