京都大学 2019年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

問1
$X=\cos \theta$ とおく。条件から $X$ は無理数である。一方、$$\cos 2\theta =2X^2-1$$が有理数なので、$X^2$ は有理数である。また$$\cos 3\theta =X(4X^2-3)$$も有理数であり、$4X^2-3$ は有理数である。もし $4X^2-3\mathrm{\ne }0$ なら、上式を $4X^2-3$ で割ることで $X$ が有理数となり、矛盾する。よって$$4X^2-3=0$$である。$0<\theta <\pi \mathrm{/}2$ より $X>0$ だから$$X=\frac{\sqrt{3}}{2}$$となる。実際、これは無理数であり、$\cos 2\theta =1\mathrm{/}2$、$\cos 3\theta =0$ はともに有理数である。したがって$$\theta =\frac{\pi }{6}$$である。

問2 (1)
部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx}& {\displaystyle ={[x\tan x]}_0^{\pi \mathrm{/}4}-{\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\tan xdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{4}+{[\log (\cos x)]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{4}-\log \sqrt{2}}\end{array}$$である。

問2 (2)$$\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{2}(\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\cos x}{1-\sin x})$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\frac{dx}{\cos x}}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{[\log (1+\sin x)-\log (1-\sin x)]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\log \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log (1+\sqrt{2})}\end{array}$$である。

問1は $\cos 3\theta =\cos \theta (2\cos 2\theta -1)$ を直接用い、有理数と無理数の積から係数を0と決める。問2は被積分関数の原始関数を微分で確認し、端点を代入する。

問1
恒等式$$\cos 3\theta =\cos \theta (2\cos 2\theta -1)$$を用いる。$2\cos 2\theta -1$ は有理数である。これが0でなければ$$\cos \theta =\frac{\cos 3\theta }{2\cos 2\theta -1}$$は有理数となり、条件に反する。したがって$$2\cos 2\theta -1=0,\cos 2\theta =\frac{1}{2}$$である。$0<2\theta <\pi$ なので $2\theta =\pi \mathrm{/}3$、ゆえに$$\theta =\frac{\pi }{6}$$を得る。

問2 (1)
次の微分を確認する。$$\frac{d}{dx}\{x\tan x+\log (\cos x)\}=\tan x+\frac{x}{{\cos }^{2}x}-\tan x=\frac{x}{{\cos }^{2}x}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\frac{x}{{\cos }^{2}x}dx}& {\displaystyle ={[x\tan x+\log (\cos x)]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{4}-\log \sqrt{2}}\end{array}$$である。

問2 (2)$$\frac{d}{dx}\log (\sec x+\tan x)=\sec x=\frac{1}{\cos x}$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}\frac{dx}{\cos x}}& {\displaystyle ={[\log (\sec x+\tan x)]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log (\sqrt{2}+1)}\end{array}$$となる。