京都大学 2020年度理系数学第6問解答・解説

問題

$x, y, z$ を座標とする空間において， $x z$ 平面内の曲線

z = lo g (1 + x) (0 ≦ x ≦ 1)

を $z$ 軸のまわりに1回転させるとき，この曲線が通過した部分よりなる図形を $S$ とする．この $S$ をさらに $x$ 軸のまわりに1回転させるとき， $S$ が通過した部分よりなる立体を $V$ とする．このとき， $V$ の体積を求めよ。

出典：京都大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第6問

最初の回転面を $r = e^{z^{2}} - 1$ と表す。固定した $x$ に対し、2回目の回転でできる断面の内半径と外半径を求め、環状断面の面積を積分する。

固定した $x$ の断面を、外側の円板から内側の円板を除いたものと見る。外側と穴の体積を別々に積分し、最後に差を取る。

最初の回転でできる面 $S$ は、 $z$ 軸からの距離を

r = x^{2} + y^{2}

とすると

r = e^{z^{2}} - 1, 0 ≦ z ≦ lo g 2

で表される。

2回目の回転について、固定した $x$ での断面を考える。 $S$ 上にその $x$ 座標をもつ点がある条件は

∣ x ∣ ≦ e^{z^{2}} - 1,

すなわち

z^{2} ≧ lo g (1 + ∣ x ∣)

である。

$S$ 上では

y^{2} = (e^{z^{2}} - 1)^{2} - x^{2} .

$x$ 軸からの距離を $R$ とすると

R^{2} = y^{2} + z^{2} = (e^{z^{2}} - 1)^{2} - x^{2} + z^{2} .

右辺は $z ≧ 0$ で狭義単調増加する。したがって断面は環状領域になる。

最大の $z$ は $lo g 2$ であり、

R_{out}^{2} = 1 - x^{2} + lo g 2.

最小の $z$ は $e^{z^{2}} - 1 = ∣ x ∣$ を満たすので、

R_{in}^{2} = lo g (1 + ∣ x ∣) .

よって断面積は

π {1 - x^{2} + lo g 2 - lo g (1 + ∣ x ∣)} .

断面積は偶関数だから

V = 2 π \int_{0}^{1} {1 - x^{2} + lo g 2 - lo g (1 + x)} d x .

また

\int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x = 2 lo g 2 - 1.

したがって

V = 2 π {1 - \frac{1}{3} + lo g 2 - (2 lo g 2 - 1)} = \frac{10 π}{3} - 2 π lo g 2.

固定した $x$ に対し、最初の面上の点を $x$ 軸のまわりに回したときの半径 $R$ は

R^{2} = (e^{z^{2}} - 1)^{2} - x^{2} + z^{2} .

これは $z$ とともに増加する。

外側の境界は

z = lo g 2, e^{z^{2}} - 1 = 1

から

R_{out}^{2} = 1 + lo g 2 - x^{2} .

一方、中央の穴の境界は $y = 0$ 、すなわち

e^{z^{2}} - 1 = ∣ x ∣

から

R_{in}^{2} = lo g (1 + ∣ x ∣) .

そこで、まず外側をすべて満たした立体の体積を

V_{out} = π \int_{- 1}^{1} (1 + lo g 2 - x^{2}) d x

とする。偶関数性から

V_{out} = 2 π (1 + lo g 2 - \frac{1}{3}) .

中央の穴の体積は

V_{hole} = π \int_{- 1}^{1} lo g (1 + ∣ x ∣) d x = 2 π \int_{0}^{1} lo g (1 + x) d x .

部分積分により

V_{hole} = 2 π (2 lo g 2 - 1) .

したがって

V = V_{out} - V_{hole} = \frac{10 π}{3} - 2 π lo g 2.