京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

最初の回転でできる面 $S$ は、$z$ 軸からの距離を$$r=\sqrt{x^2+y^2}$$とすると$$r=e^{z^2}-1,0\leqq z\leqq \sqrt{\log 2}$$で表される。

2回目の回転について、固定した $x$ での断面を考える。$S$ 上にその $x$ 座標をもつ点がある条件は$$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq e^{z^2}-1,$$すなわち$$z^2\geqq \log (1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })$$である。

$S$ 上では$$y^2=(e^{z^2}-1{)}^2-x^2\mathrm{.}$$$x$ 軸からの距離を $R$ とすると$$R^2=y^2+z^2=(e^{z^2}-1{)}^2-x^2+z^2\mathrm{.}$$右辺は $z\geqq 0$ で狭義単調増加する。したがって断面は環状領域になる。

最大の $z$ は $\sqrt{\log 2}$ であり、$$R_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^2=1-x^2+\log 2.$$最小の $z$ は $e^{z^2}-1=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ を満たすので、$$R_{\mathrm{i}\mathrm{n}}^2=\log (1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })\mathrm{.}$$よって断面積は$$\pi \{1-x^2+\log 2-\log (1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })\}\mathrm{.}$$断面積は偶関数だから$$V=2\pi {\int }_0^1\{1-x^2+\log 2-\log (1+x)\}dx\mathrm{.}$$また$${\int }_0^1\log (1+x)dx=2\log 2-1.$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi \{1-\frac{1}{3}+\log 2-(2\log 2-1)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{10\pi }{3}-2\pi \log 2.}\end{array}$$

固定した $x$ の断面を、外側の円板から内側の円板を除いたものと見る。外側と穴の体積を別々に積分し、最後に差を取る。

固定した $x$ に対し、最初の面上の点を $x$ 軸のまわりに回したときの半径 $R$ は$$R^2=(e^{z^2}-1{)}^2-x^2+z^2\mathrm{.}$$これは $z$ とともに増加する。

外側の境界は$$z=\sqrt{\log 2},e^{z^2}-1=1$$から$$R_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^2=1+\log 2-x^2\mathrm{.}$$一方、中央の穴の境界は $y=0$、すなわち$$e^{z^2}-1=\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$$から$$R_{\mathrm{i}\mathrm{n}}^2=\log (1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })\mathrm{.}$$そこで、まず外側をすべて満たした立体の体積を$$V_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=\pi {\int }_{-1}^1(1+\log 2-x^2)dx$$とする。偶関数性から$$V_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=2\pi (1+\log 2-\frac{1}{3})\mathrm{.}$$中央の穴の体積は$$V_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}=\pi {\int }_{-1}^1\log (1+\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid })dx=2\pi {\int }_0^1\log (1+x)dx\mathrm{.}$$部分積分により$$V_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}=2\pi (2\log 2-1)\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =V_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}-V_{\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{e}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{10\pi }{3}-2\pi \log 2.}\end{array}$$