京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$$\mathit{a}=\overrightarrow{OA},\mathit{b}=\overrightarrow{OB},\mathit{c}=\overrightarrow{OC},\mathit{d}=\overrightarrow{OD}$$とおく。4本はすべて単位ベクトルである。また$$\mathrm{\mid }\mathit{a}+\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2=1+1+2\cdot \frac{1}{2}=3.$$そこで$$\mathit{u}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}}{\sqrt{3}}$$とおくと、$\mathit{u}$ は単位ベクトルである。

条件から$$\mathit{c}\cdot \mathit{u}=-\frac{1}{\sqrt{2}},\mathit{d}\cdot \mathit{u}=\frac{2k}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$さらに$$\mathit{c}\cdot (\mathit{a}-\mathit{b})=0,\mathit{d}\cdot (\mathit{a}-\mathit{b})=0.$$よって $\mathit{u}$ に垂直な共通方向の単位ベクトルを $\mathit{v}$ とすれば、向きを適切に選んで$$\mathit{c}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathit{u}+\frac{1}{\sqrt{2}}\mathit{v},$$$$\mathit{d}=\frac{2k}{\sqrt{3}}\mathit{u}+\epsilon \sqrt{1-\frac{4k^2}{3}}\mathit{v}(\epsilon =\pm 1)$$と書ける。

$\epsilon =-1$ なら2方向の内積がどちらも負になり、$$\mathit{c}\cdot \mathit{d}=1\mathrm{/}2$$ に反する。したがって $\epsilon =1$ で、$$-\sqrt{\frac{2}{3}}k+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{4k^2}{3}}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$平方根を移項して平方すると$$16k^2+12\sqrt{\frac{2}{3}}k-3=0.$$$k>0$ であるから$$k=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}\mathrm{.}$$

$A,B$ を $x$ 軸について対称に置く。内積条件を引き算すると $C,D$ の $y$ 成分が0となり、残りは $xz$ 平面内の2次元計算になる。

座標軸を適切に選び、$$\mathit{a}=(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0),\mathit{b}=(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2},0)$$とおく。どちらも単位ベクトルで、内積は $1\mathrm{/}2$ である。$$\mathit{c}=(c_1,c_2,c_3)$$ とする。$$\mathit{a}\cdot \mathit{c}=\mathit{b}\cdot \mathit{c}=-\frac{\sqrt{6}}{4}$$の2式を引くと $c_2=0$、加えると$$\sqrt{3}{c}_1=-\frac{\sqrt{6}}{2}\mathrm{.}$$よって$$c_1=-\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{.}$$座標軸の向きを選び直して$$\mathit{c}=(-\frac{1}{\sqrt{2}},0,\frac{1}{\sqrt{2}})$$としてよい。

同様に $$\mathit{d}=(d_1,d_2,d_3)$$ について$$\mathit{a}\cdot \mathit{d}=\mathit{b}\cdot \mathit{d}=k$$から$$d_2=0,d_1=\frac{2k}{\sqrt{3}}\mathrm{.}$$$\mathrm{\mid }\mathit{d}\mathrm{\mid }=1$ より$$d_3=\pm \sqrt{1-\frac{4k^2}{3}}\mathrm{.}$$$$\mathit{c}\cdot \mathit{d}=1\mathrm{/}2>0$$ と $k>0$ を同時に満たすには $d_3>0$ でなければならない。したがって$$-\sqrt{\frac{2}{3}}k+\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{4k^2}{3}}=\frac{1}{2}\mathrm{.}$$これを解き、正の根を取ると$$k=\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}\mathrm{.}$$