京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

点 $P$ は辺 $AE$ 上にあり，点 $Q$ は辺 $CG$ 上にあるので $$P=(1,0,p),Q=(0,2,q)$$ とおける。ただし $$0\leqq p\leqq 3,0\leqq q\leqq 3$$ である。

平面が $O$ を通るので，$O,F,P,Q$ が同一平面上にあることは，$\overrightarrow{OF}$ が $\overrightarrow{OP},\overrightarrow{OQ}$ の一次結合で表されることと同値である。すなわち，ある実数 $s,t$ があって $F=sP+tQ$ となればよい。座標で書くと $$(1,2,3)=s(1,0,p)+t(0,2,q)$$ である。第1，第2座標から $s=1,t=1$ となるので，第3座標より $p+q=3$ である。したがって $q=3-p$ である。

このとき $P+Q=(1,2,p+q)=(1,2,3)=F$ である。よって四角形 $OPFQ$ は平行四辺形である。

隣り合う辺を $$\overrightarrow{OP}=(1,0,p),\overrightarrow{OQ}=(0,2,3-p)$$ と見る。平行四辺形の面積 $S$ について$$S^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2-(\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}{)}^2$$である。ここで$$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OP}{\mathrm{\mid }}^2=1+p^2,\mathrm{\mid }\overrightarrow{OQ}{\mathrm{\mid }}^2=4+(3-p{)}^2,\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=p(3-p)$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S^2}& {\displaystyle =(1+p^2)\{4+(3-p{)}^2\}-p^2(3-p{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4p^2+(3-p{)}^2+4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =5p^2-6p+13}\end{array}$$である。

この2次式は $${\displaystyle 5p^2-6p+13=5{(p-\frac{3}{5})}^2+\frac{56}{5}}$$ である。したがって最小となるのは $${\displaystyle p=\frac{3}{5}}$$ のときであり，このとき $${\displaystyle q=3-p=\frac{12}{5}}$$ である。よって $${\displaystyle P=(1,0,\frac{3}{5}),Q=(0,2,\frac{12}{5})}$$ であり，最小値は $${\displaystyle S=\sqrt{\frac{56}{5}}=\frac{2\sqrt{70}}{5}}$$ である。

4点を含む平面を原点を通る一般形で表し，辺 $AE,CG$ との交点条件から $P,Q$ の高さの和を求める。四角形は平行四辺形になるので，2本の対角線の外積の半分として面積を計算し，平方完成する。

$$P=(1,0,p),Q=(0,2,q)(0\leqq p,q\leqq 3)$$ とおく。4点を含む平面は $O$ を通るので$$ux+vy+wz=0$$と書ける。$P,Q,F$ を代入すると$$u+wp=0,2v+wq=0,u+2v+3w=0$$である。最初の2式を最後の式へ代入して $w(3-p-q)=0$ を得る。平面なので $w=0$ だけが残ることはなく，したがって$$p+q=3$$である。

このとき $P+Q=F$ だから $OPFQ$ は平行四辺形である。対角線は$$\overrightarrow{OF}=(1,2,3),\overrightarrow{PQ}=(-1,2,q-p)$$であり，平行四辺形の面積は$$S=\frac{1}{2}\mid \overrightarrow{OF}\times \overrightarrow{PQ}\mid$$である。$q=3-p$ を代入して計算すると$$S^2=5p^2-6p+13=5{(p-\frac{3}{5})}^2+\frac{56}{5}$$となる。よって $p=3\mathrm{/}5,q=12\mathrm{/}5$ のとき最小であり，$$P=(1,0,\frac{3}{5}),Q=(0,2,\frac{12}{5}),S_{\min }=\frac{2\sqrt{70}}{5}$$である。両点の高さは $0\leqq p,q\leqq 3$ を満たす。