京都大学 2021年度
理系数学 第1問

解答

解法1（法線方向の反射と包除原理で求める）

問1

平面 $\alpha$ は3点 $A(1,0,0),B(0,-1,0),C(0,0,2)$ を通る。方程式を $ux+vy+wz=1$ とおくと，3点を代入して $u=1,-v=1,2w=1$ となる。したがって $\alpha :x-y+\frac{1}{2}z=1$ である。

法線ベクトルを $\mathbf{n}=\left(1,-1,\frac{1}{2}\right)$ とする。平面の左辺から右辺を引いた値を $F(x,y,z)=x-y+\frac{1}{2}z-1$ とおくと $F(P)=F(1,1,1)=-\frac{1}{2}$ である。また $|\mathbf{n}{|}^2=1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$ である。

平面に関する対称点は，点 $P$ を法線方向に平面までの2倍だけ動かした点であるから $Q=P-2\frac{F(P)}{|\mathbf{n}{|}^2}\mathbf{n}$ である。よって

である。したがって $Q=\left(\frac{13}{9},\frac{5}{9},\frac{11}{9}\right)$ である。

問2

$n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されるので，最初の $n-1$ 回では赤玉は一度も出ていない。さらに，$n$ 回目に赤玉が出た時点で4種類すべてが記録済みになるには，最初の $n-1$ 回の間に白玉，青玉，黄玉がすべて少なくとも1回ずつ出ている必要がある。

最初の $n-1$ 回を，白・青・黄の3色だけからなる列として数える。全体は $3^{n-1}$ 通りである。このうち，ある1色が一度も出ない列は $2^{n-1}$ 通りで，その色の選び方が3通りある。さらに，2色が一度も出ない列は1色だけが出続ける列であり，3通りである。

したがって包除原理より，白・青・黄がすべて現れる列の数は $3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3$ である。最後の $n$ 回目は赤玉でなければならない。各試行の色の列はすべて確率 $(1/4{)}^n$ で起こるので，求める確率は $\frac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}$ である。

解法2（垂足を求めて状態数の漸化式を使う）

問1

平面 $\alpha$ の方程式は

で，法線ベクトルは $\mathbf{n}=(2,-2,1)$ である。垂足を

とおく。$M\in \alpha$ より

なので $9t=1$，すなわち

である。$M$ は $PQ$ の中点だから

となる。

問2

最初の $m$ 回で赤が出ず，白・青・黄のうちちょうど1色，2色，3色が現れている確率をそれぞれ $u_m,v_m,w_m$ とする。すると

である。また状態遷移から

であり，この漸化式へ代入して帰納的に

を得る。

$n$ 回目で初めて赤が出て4色が揃うには，$n-1$ 回目までが状態 $w_{n-1}$ で，最後に赤を引けばよい。したがって求める確率は

である。