京都大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

問1

平面 $\alpha$ は3点 $A(1,0,0),B(0,-1,0),C(0,0,2)$ を通る。方程式を $ux+vy+wz=1$ とおくと，3点を代入して $$u=1,-v=1,2w=1$$ となる。したがって $${\displaystyle \alpha :x-y+\frac{1}{2}z=1}$$ である。

法線ベクトルを $${\displaystyle \mathbf{n}=(1,-1,\frac{1}{2})}$$ とする。平面の左辺から右辺を引いた値を $${\displaystyle F(x,y,z)=x-y+\frac{1}{2}z-1}$$ とおくと $${\displaystyle F(P)=F(1,1,1)=-\frac{1}{2}}$$ である。また $${\displaystyle \mathrm{\mid }\mathbf{n}{\mathrm{\mid }}^2=1+1+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}}$$ である。

平面に関する対称点は，点 $P$ を法線方向に平面までの2倍だけ動かした点であるから $${\displaystyle Q=P-2\frac{F(P)}{\mathrm{\mid }\mathbf{n}{\mathrm{\mid }}^2}\mathbf{n}}$$ である。よって$$Q=(1,1,1)-2\cdot \frac{-1\mathrm{/}2}{9\mathrm{/}4}(1,-1,\frac{1}{2})=(1,1,1)+\frac{4}{9}(1,-1,\frac{1}{2})$$である。したがって $${\displaystyle Q=(\frac{13}{9},\frac{5}{9},\frac{11}{9})}$$ である。

問2 $n$ 回目の試行で初めて赤玉が取り出されるので，最初の $n-1$ 回では赤玉は一度も出ていない。さらに，$n$ 回目に赤玉が出た時点で4種類すべてが記録済みになるには，最初の $n-1$ 回の間に白玉，青玉，黄玉がすべて少なくとも1回ずつ出ている必要がある。

最初の $n-1$ 回を，白・青・黄の3色だけからなる列として数える。全体は $3^{n-1}$ 通りである。このうち，ある1色が一度も出ない列は $2^{n-1}$ 通りで，その色の選び方が3通りある。さらに，2色が一度も出ない列は1色だけが出続ける列であり，3通りである。

したがって包除原理より，白・青・黄がすべて現れる列の数は $3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3$ である。最後の $n$ 回目は赤玉でなければならない。各試行の色の列はすべて確率 $(1\mathrm{/}4{)}^n$ で起こるので，求める確率は ${\displaystyle \frac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}}$ である。

問1は $P$ から平面への垂足 $M$ を法線パラメータで求め，$Q=2M-P$ とする。問2は赤がまだ出ていない列について，白・青・黄のうちちょうど1色・2色・3色が現れた確率を状態別に追い，最後に赤を引く確率を掛ける。

問1

平面 $\alpha$ の方程式は$$2x-2y+z=2$$で，法線ベクトルは $\mathbf{n}=(2,-2,1)$ である。垂足を$$M=P+t\mathbf{n}=(1+2t,1-2t,1+t)$$とおく。$M\in \alpha$ より$$2(1+2t)-2(1-2t)+(1+t)=2$$なので $9t=1$，すなわち$$M=(\frac{11}{9},\frac{7}{9},\frac{10}{9})$$である。$M$ は $PQ$ の中点だから$$Q=2M-P=(\frac{13}{9},\frac{5}{9},\frac{11}{9})$$となる。

問2

最初の $m$ 回で赤が出ず，白・青・黄のうちちょうど1色，2色，3色が現れている確率をそれぞれ $u_m,v_m,w_m$ とする。すると$$u_m=\frac{3}{4^m},v_m=\frac{3(2^m-2)}{4^m}$$である。また状態遷移から$$w_{m+1}=\frac{3}{4}{w}_m+\frac{1}{4}{v}_m,w_1=0$$であり，この漸化式へ代入して帰納的に$$w_m=\frac{3^m-3\cdot 2^m+3}{4^m}$$を得る。

$n$ 回目で初めて赤が出て4色が揃うには，$n-1$ 回目までが状態 $w_{n-1}$ で，最後に赤を引けばよい。したがって求める確率は$$\frac{1}{4}{w}_{n-1}=\frac{3^{n-1}-3\cdot 2^{n-1}+3}{4^n}$$である。