京都大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

数字の名前を入れ替えて第1行を$$1,2,3,4$$に固定する。さらに下3行を入れ替えて、第1列も$$1,2,3,4$$に固定する。

第2行は先頭が2で、各列の先頭の数字と重ならないため、候補は$$(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3)$$の3通りである。これらを完成させると、標準形は次の4通りになる。$$\overline{)\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 3& 2& 1\end{array}}\overline{)\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 4& 3\\ 3& 4& 2& 1\\ 4& 3& 1& 2\end{array}}$$$$\overline{)\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 3& 4& 1\\ 3& 4& 1& 2\\ 4& 1& 2& 3\end{array}}\overline{)\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 4& 1& 3\\ 3& 1& 4& 2\\ 4& 3& 2& 1\end{array}}$$よって標準形は4通りである。

第1行の並べ方は $4!$ 通りで、第1行を固定した後の第1列下3個の並べ方は $3!$ 通りである。したがって$$4\cdot 4!\cdot 3!=576.$$

第1行だけを $1,2,3,4$ に固定する。第2行第1列の数字は3通りで対称であり、それを2に固定した場合の完成数8通りを数える。

まず第1行を$$(1,2,3,4)$$に固定する。

第2行第1列には $2,3,4$ のいずれかが入る。この3つは数字名の入れ替えで対称だから、第2行第1列を2とした場合だけを数え、最後に3倍する。

このとき第2行は$$(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3)$$のいずれかである。

第2行が $(2,1,4,3)$ のとき、第3行は$$(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1)$$の4通りで、その後の第4行は一意に決まる。

第2行が $(2,3,4,1)$ のときは第3行が2通り、第2行が $(2,4,1,3)$ のときも第3行が2通りであり、いずれも第4行は一意に決まる。よって第2行第1列を2とした完成数は$$4+2+2=8$$通りである。

第1行を固定した全体では$$3\cdot 8=24$$通り。第1行自体の並べ方 $4!$ を戻すと$$24\cdot 4!=576$$通りである。