京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

選ばれた3つの数を小さい順に $X<Y<Z$ とする。条件は $Y-X\geqq 2,Z-Y\geqq 2$ であり、これは選ばれた3数の中に隣り合う番号がないことを意味する。

そこで $$X^{\mathrm{\prime }}=X,Y^{\mathrm{\prime }}=Y-1,Z^{\mathrm{\prime }}=Z-2$$ とおく。すると $X<Y-1<Z-2$ であり、また $1\leqq X$ かつ $Z\leqq n$ なので $$1\leqq X^{\mathrm{\prime }}<Y^{\mathrm{\prime }}<Z^{\mathrm{\prime }}\leqq n-2$$ である。

逆に、$$1\leqq X^{\mathrm{\prime }}<Y^{\mathrm{\prime }}<Z^{\mathrm{\prime }}\leqq n-2$$ を満たす3数から $$X=X^{\mathrm{\prime }},Y=Y^{\mathrm{\prime }}+1,Z=Z^{\mathrm{\prime }}+2$$ と戻すと、$1\leqq X<Y<Z\leqq n$ であり、さらに $$Y-X=(Y^{\mathrm{\prime }}-X^{\mathrm{\prime }})+1\geqq 2,Z-Y=(Z^{\mathrm{\prime }}-Y^{\mathrm{\prime }})+1\geqq 2$$ を満たす。したがってこの対応は一対一である。

よって条件を満たす選び方は ${}_{n-2}{\mathrm{C}}_3$ 通りである。全体の選び方は ${}_n{\mathrm{C}}_3$ 通りなので、求める確率は$$\frac{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_3}{{}_n{\mathrm{C}}_3}=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}$$である。

条件を満たさない事象を「小さい2数が隣接」「大きい2数が隣接」の和として数える。各事象は ${}_{n-1}{\mathrm{C}}_2$ 通りで、両方が起こる連続3数 $k,k+1,k+2$ を包除原理で足し戻す。

全体は $1,\dots ,n$ から3数を選ぶ ${}_n{\mathrm{C}}_3$ 通りである。$$E_1=\{Y-X=1\},E_2=\{Z-Y=1\}$$とおく。求める条件は $E_1$ も $E_2$ も起こらないことである。

$E_1$ では $X=k,Y=k+1$ とすると、$Z$ は $k+2,\dots ,n$ から選ぶ。よって$$\mathrm{\mid }{E}_1\mathrm{\mid }=\sum _{k=1}^{n-2}(n-k-1)=1+2+\cdots +(n-2)={}_{n-1}{\mathrm{C}}_2\mathrm{.}$$対称性により$$\mathrm{\mid }{E}_2\mathrm{\mid }={}_{n-1}{\mathrm{C}}_2\mathrm{.}$$$E_1\cap E_2$ は$$(X,Y,Z)=(k,k+1,k+2)$$の形であり、$k=1,\dots ,n-2$ の $n-2$ 通りである。したがって包除原理より有利な選び方は$${}_n{\mathrm{C}}_3-2{}_{n-1}{\mathrm{C}}_2+(n-2)={}_{n-2}{\mathrm{C}}_3\mathrm{.}$$よって求める確率は$$\frac{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_3}{{}_n{\mathrm{C}}_3}=\frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}\mathrm{.}$$