京都大学 2022年度理系数学第2問解答・解説

問題

箱の中に1から $n$ までの番号がついた $n$ 枚の札がある．ただし $n ≧ 5$ とし，同じ番号の札はないとする．この箱から3枚の札を同時に取り出し，札の番号を小さい順に $X, Y, Z$ とする．このとき， $Y - X ≧ 2$ かつ $Z - Y ≧ 2$ となる確率を求めよ．

出典：京都大学 2022年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

解法1

条件は選んだ3つの番号が互いに隣り合わないことを意味する。小さい順に $X < Y < Z$ とし、 $Y - X ≧ 2$ 、 $Z - Y ≧ 2$ の余裕を吸収するために $X^{'} = X$ 、 $Y^{'} = Y - 1$ 、 $Z^{'} = Z - 2$ とずらす。すると $1$ から $n - 2$ までの中から通常の3数を選ぶ問題になる。全体の $_{n} C_{3}$ との比を整理する。別解として、隣接する組を含む場合を包除原理で引くこともできる。

解法2

条件を満たさない事象を「小さい2数が隣接」「大きい2数が隣接」の和として数える。各事象は $_{n - 1} C_{2}$ 通りで、両方が起こる連続3数 $k, k + 1, k + 2$ を包除原理で足し戻す。

解答

解法1

選ばれた3つの数を小さい順に $X < Y < Z$ とする。条件は $Y - X ≧ 2, Z - Y ≧ 2$ であり、これは選ばれた3数の中に隣り合う番号がないことを意味する。

そこで $X^{'} = X, Y^{'} = Y - 1, Z^{'} = Z - 2$ とおく。すると $X < Y - 1 < Z - 2$ であり、また $1 ≦ X$ かつ $Z ≦ n$ なので $1 ≦ X^{'} < Y^{'} < Z^{'} ≦ n - 2$ である。

逆に、 $1 ≦ X^{'} < Y^{'} < Z^{'} ≦ n - 2$ を満たす3数から $X = X^{'}, Y = Y^{'} + 1, Z = Z^{'} + 2$ と戻すと、 $1 ≦ X < Y < Z ≦ n$ であり、さらに $Y - X = (Y^{'} - X^{'}) + 1 ≧ 2, Z - Y = (Z^{'} - Y^{'}) + 1 ≧ 2$ を満たす。したがってこの対応は一対一である。

よって条件を満たす選び方は $_{n - 2} C_{3}$ 通りである。全体の選び方は $_{n} C_{3}$ 通りなので、求める確率は

\frac{_{n - 2} C _{3}}{_{n} C _{3}} = \frac{( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 )}{n ( n - 1 ) ( n - 2 )} = \frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{n ( n - 1 )}

である。

解法2

全体は $1, \dots, n$ から3数を選ぶ $_{n} C_{3}$ 通りである。

E_{1} = {Y - X = 1}, E_{2} = {Z - Y = 1}

とおく。求める条件は $E_{1}$ も $E_{2}$ も起こらないことである。

$E_{1}$ では $X = k, Y = k + 1$ とすると、 $Z$ は $k + 2, \dots, n$ から選ぶ。よって

∣ E_{1} ∣ = k = 1 \sum n - 2 (n - k - 1) = 1 + 2 + \dots + (n - 2) =_{n - 1} C_{2} .

対称性により

∣ E_{2} ∣ =_{n - 1} C_{2} .

$E_{1} \cap E_{2}$ は

(X, Y, Z) = (k, k + 1, k + 2)

の形であり、 $k = 1, \dots, n - 2$ の $n - 2$ 通りである。したがって包除原理より有利な選び方は

_{n} C_{3} - 2_{n - 1} C_{2} + (n - 2) =_{n - 2} C_{3} .

よって求める確率は

\frac{_{n - 2} C _{3}}{_{n} C _{3}} = \frac{( n - 3 ) ( n - 4 )}{n ( n - 1 )} .

京都大学 2022年度理系数学 第2問

問題

方針

解法1

解法2

解答

解法1

解法2

京都大学 2022年度
理系数学第2問