Evolton
方針
を 軸に置いて座標化する。与えられた長さから はどちらも の平面上にあることが分かり、さらに を満たすように 座標を取る。 を 上のパラメータで表すと、 の 座標は常に2である。重心 から を計算し、 成分が0であることから垂直性を示す。最小値は を の二次式にして求める。
解答
(1)
なので、座標を とおく。
まず より、 とすると である。差をとると である。回転してよいので とおける。
同様に より、 の 座標も2である。 とおくと である。また より である。この2式の差をとると となるので である。したがって であり、向きを選んで とおく。 を辺 上の点とし、 と表す。このときであり、 の 座標は常に2である。 の重心は であるから である。 の 座標は4、 の 座標は2なので、 の 成分は である。 は 軸方向のベクトルだから、 は と垂直である。これで(1)が示された。
(2)
次に の最小値を求める。上の式より である。 成分は0なので平方完成すると である。 は に含まれるので、最小値は である。したがって である。
別解
解法2
方針
辺 の中点を とする。, から は の垂直二等分平面上にあり、 なら 。重心 は中線 を に分けるので 。あとは平面三角形 で から への距離を求める。
解答
(1)
を辺 の中点とする。 だから は の垂直二等分平面上にあり、同様に から も同じ平面上にある。したがって なら三角形 において は中線であり、重心 はこの中線をに分ける。よって は と平行なので(2)
であり、直角三角形 からしたがって三角形 の3辺は から に下ろした垂線の足を とする。余弦定理、または射影の公式よりよって なので は辺 上にあり、 が のとき は最小値2をとる。
重心の性質より だから
総評
空間図形を垂直二等分平面と平面三角形へ落とす問題。目安時間は18〜24分。公式出題意図は空間ベクトルの大きさ・内積による理解と計算力を評価し、ベクトルを使わない幾何解法も想定している。座標法では の二次式、幾何法では と三角形 の高さを求め、どちらも最小点が辺 の内部にあることを確認する。