京都大学 2022年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

3つの整数 $n^2+2,n^4+2,n^6+2$ の最大公約数を $A_n$ とする。

まず、$A_n$ は $n^2+2$ と $n^4+2$ を割るので、その整数係数の差 $$n^4+2-n^2(n^2+2)=2(1-n^2)$$ も割る。したがって $A_n\mid 2(1-n^2)$ である。

奇素数 $q$ が $A_n$ を割るとする。もし $q\mid n$ なら、$q\mid n^2+2$ より $q\mid 2$ となり、$q$ が奇素数であることに反する。したがって $q\nmid n$ である。 $q\mid A_n$ なので $n^2+2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$ であり、$n^2\equiv -2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$ である。また $A_n\mid 2(1-n^2)$ かつ $q$ は奇素数だから $1-n^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$ すなわち $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$ である。よって $1\equiv -2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$ となり、$3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q)$ である。したがって奇素因数は3に限られる。

次に2の出方を調べる。$n$ が奇数のとき、$n^2,n^4,n^6$ はすべて奇数なので、3つの数はすべて奇数であり、2は $A_n$ を割らない。$n$ が偶数のときは、$n^2,n^4,n^6$ は4の倍数なので $$n^2+2\equiv n^4+2\equiv n^6+2\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$$ である。したがって2は割るが、4は割らない。

次に3の出方を調べる。$n$ が3の倍数のとき、3つの数はいずれも $2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ に合同なので、3は $A_n$ を割らない。$n$ が3の倍数でないとき、$n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であるから、3つの数はいずれも $1+2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ となり、3は $A_n$ を割る。

ただし、9が常に共通に割るわけではないことを確認する。$3\nmid n$ のとき、$n^2$ の9での余りは $1,4,7$ のいずれかである。もし $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なら $n^2+2\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。もし $n^2\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なら $n^2+2\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。もし $n^2\equiv 7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なら $n^4+2\equiv 7^2+2\equiv 4+2\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。いずれの場合も、3つすべてが9で割り切れることはない。したがって3の指数は高くても1である。

以上より、$A_n$ は2と3の有無だけで決まる。$n$ を6で割った余りで分類すると$$A_n=\{\begin{array}{ll}6& (n\equiv 2,4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)),\\ 3& (n\equiv 1,5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)),\\ 2& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)),\\ 1& (n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6))\end{array}$$である。

$x=n^2$ とおき、$x+2$ を法として $x\equiv -2$ を使う。後ろ2数の余りはそれぞれ6と $-6$ なので、3数の最大公約数が $\gcd (n^2+2,6)$ に正確に一致することを示す。最後は $n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>6$ だけで分類する。

$x=n^2$ とおく。$x+2$ を法とすれば $x\equiv -2$ だから$$x^2+2\equiv (-2{)}^2+2=6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x+2),$$$$x^3+2\equiv (-2{)}^3+2=-6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}x+2)\mathrm{.}$$したがって3数の共通約数は $x+2$ と6の共通約数であり、$$A_n\mid \gcd (x+2,6)\mathrm{.}$$逆に $d\mid x+2$ かつ $d\mid 6$ とする。$x\equiv -2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)$ だから$$x^2+2\equiv 6\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d),x^3+2\equiv -6\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}d)\mathrm{.}$$よって $d$ は3数すべての共通約数である。したがって$$A_n=\gcd (n^2+2,6)\mathrm{.}$$$n$ を6で割った余りごとに $n^2+2$ を6で見ると$$\begin{array}{ccccccc}n<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>6& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\ n^2+2<mrow><mi\; mathvariant="normal">m</mi><mi\; mathvariant="normal">o</mi><mi\; mathvariant="normal">d</mi></mrow>6& 2& 3& 0& 5& 0& 3\end{array}$$である。よって$$A_n=\{\begin{array}{ll}6& (n\equiv 2,4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)),\\ 3& (n\equiv 1,5(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)),\\ 2& (n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)),\\ 1& (n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6))\mathrm{.}\end{array}$$