京都大学 2023年度 前期日程 一般選抜文系数学 第3問

(1) $c=\cos \theta$ とおく。倍角公式より $$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2c^2-1$$ である。また加法定理を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \cos 3\theta }& {\displaystyle =\cos (2\theta +\theta )}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\cos 2\theta \cos \theta -\sin 2\theta \sin \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2c^2-1)c-2{\sin }^2\theta c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2c^2-1)c-2(1-c^2)c}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4c^3-3c}\end{array}$$である。したがって$$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1,\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$である。

(2)
半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを $l$ とする。隣り合う頂点を結ぶ弦に対応する中心角は $\frac{2\pi }{5}$ であるから，余弦定理より $$l^2=1^2+1^2-2\cos \frac{2\pi }{5}=2-2\cos \frac{2\pi }{5}$$ である。 $$u=\cos \frac{\pi }{5}$$ とおく。$0<\pi \mathrm{/}5<\pi \mathrm{/}2$ より $u>0$ である。また $$\cos \frac{3\pi }{5}=-\cos \frac{2\pi }{5}$$ であり，(1)から $$\cos \frac{3\pi }{5}=4u^3-3u,\cos \frac{2\pi }{5}=2u^2-1$$ である。したがって $4u^3-3u=-(2u^2-1)$ すなわち $4u^3+2u^2-3u-1=0$ である。左辺は $(u+1)(4u^2-2u-1)$ と因数分解できる。$u>0$ なので $u=-1$ は不適であり，$4u^2-2u-1=0$ を解いて $$u=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$ を得る。よって $$\cos \frac{2\pi }{5}=2u^2-1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$$ である。

したがって $$l^2=2-2\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$$ である。ここで $$1.15=\frac{23}{20}$$ だから，$l>1.15$ かどうかは $$\frac{5-\sqrt{5}}{2}>\frac{529}{400}$$ を調べればよい。これは $1000-200\sqrt{5}>529$ すなわち $471>200\sqrt{5}$ と同値である。両辺は正であり，$${471}^2=221841>200000=(200\sqrt{5}{)}^2$$ だから，確かに $471>200\sqrt{5}$ である。よって $l>1.15$ であり，正五角形の一辺の長さは $1.15$ より大きい。

(1) は倍角公式を繰り返して求める。(2) は正五角形の一辺を $l$，対角線を $d$ とする。円に内接する四角形にトレミーの定理を使って $d\mathrm{/}l$ を求め，三角形の外接円半径が1であることから $l^2$ を決める。最後は $1.15=23\mathrm{/}20$ と正確に比較する。

(1) $$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$$である。また $$\cos 3\theta =2\cos \theta \cos 2\theta -\cos \theta$$ だから$$\cos 3\theta =2\cos \theta (2{\cos }^2\theta -1)-\cos \theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$$である。

(2)
正五角形を $ABCDE$ とし，一辺の長さを $l$，対角線の長さを $d$ とする。

円に内接する四角形 $ABCD$ にトレミーの定理を用いると$$d^2=l^2+ld$$である。$r=d\mathrm{/}l$ とおけば $r^2-r-1=0$ であり，$r>0$ だから$$r=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$となる。

三角形 $ABC$ は二辺が $l$，底辺が $d$ の二等辺三角形で，その外接円半径は1である。底辺 $AC$ への高さを $h$ とすると，面積は $dh\mathrm{/}2$ である。外接円半径の公式 $R=abc\mathrm{/}(4S)$ より$$1=\frac{l^{2}d}{4\cdot (dh\mathrm{/}2)}=\frac{l^2}{2h},h=\frac{l^2}{2}$$である。一方，三平方の定理から$$h^2=l^2-\frac{d^2}{4}=l^2(1-\frac{r^2}{4})$$である。これらを合わせ，$l>0$ に注意すると$$l^2=4-r^2=4-\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$$を得る。

ここで$$l^2-{\left(\frac{23}{20}\right)}^2=\frac{471-200\sqrt{5}}{400}$$である。両辺が正であることに注意して平方すると$${471}^2=221841>200000=(200\sqrt{5}{)}^2$$ だから，$471>200\sqrt{5}$ である。よって $l^2>(23\mathrm{/}20{)}^2$，したがって $l>1.15$ である。