京都大学 2023年度文系数学第3問解答・解説

問題

(1) $cos 2 θ$ と $cos 3 θ$ を $cos θ$ の式として表せ．

(2) 半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さが $1.15$ より大きいか否かを理由を付けて判定せよ．

出典：京都大学 2023年度前期日程一般選抜文系第3問

方針

解法1（標準解法）

(1) は加法定理から倍角・3倍角を $cos θ$ だけで表す。(2) は正五角形の一辺を中心角 $2 π /5$ の弦として扱い， $l^{2} = 2 - 2 cos (2 π /5)$ を求める。 $u = cos (π /5)$ とおくと，(1)の公式と $cos (3 π /5) = - cos (2 π /5)$ から $u$ が決まる。最後は小数ではなく $1.15 = 23/20$ として平方比較を行う。

解法2（正五角形と円の幾何による方法）

(1) は倍角公式を繰り返して求める。(2) は正五角形の一辺を $l$ ，対角線を $d$ とする。円に内接する四角形にトレミーの定理を使って $d / l$ を求め，三角形の外接円半径が1であることから $l^{2}$ を決める。最後は $1.15 = 23/20$ と正確に比較する。

解答

解法1（標準解法）

(1)

$c = cos θ$ とおく。倍角公式より $cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1 = 2 c^{2} - 1$ である。また加法定理を用いると

cos 3 θ = cos (2 θ + θ) = cos 2 θ cos θ - sin 2 θ sin θ = (2 c^{2} - 1) c - 2 sin^{2} θ c = (2 c^{2} - 1) c - 2 (1 - c^{2}) c = 4 c^{3} - 3 c

である。したがって

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1, cos 3 θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

である。

(2)

半径1の円に内接する正五角形の一辺の長さを $l$ とする。隣り合う頂点を結ぶ弦に対応する中心角は $\frac{2 π}{5}$ であるから，余弦定理より $l^{2} = 1^{2} + 1^{2} - 2 cos \frac{2 π}{5} = 2 - 2 cos \frac{2 π}{5}$ である。 $u = cos \frac{π}{5}$ とおく。 $0 < π /5 < π /2$ より $u > 0$ である。また $cos \frac{3 π}{5} = - cos \frac{2 π}{5}$ であり，(1)から $cos \frac{3 π}{5} = 4 u^{3} - 3 u, cos \frac{2 π}{5} = 2 u^{2} - 1$ である。したがって $4 u^{3} - 3 u = - (2 u^{2} - 1)$ すなわち $4 u^{3} + 2 u^{2} - 3 u - 1 = 0$ である。左辺は $(u + 1) (4 u^{2} - 2 u - 1)$ と因数分解できる。 $u > 0$ なので $u = - 1$ は不適であり， $4 u^{2} - 2 u - 1 = 0$ を解いて $u = \frac{1 + 5}{4}$ を得る。よって $cos \frac{2 π}{5} = 2 u^{2} - 1 = \frac{5 - 1}{4}$ である。

したがって $l^{2} = 2 - 2 \cdot \frac{5 - 1}{4} = \frac{5 - 5}{2}$ である。ここで $1.15 = \frac{23}{20}$ だから， $l > 1.15$ かどうかは $\frac{5 - 5}{2} > \frac{529}{400}$ を調べればよい。これは $1000 - 2005 > 529$ すなわち $471 > 2005$ と同値である。両辺は正であり， $47 1^{2} = 221841 > 200000 = (2005)^{2}$ だから，確かに $471 > 2005$ である。よって $l > 1.15$ であり，正五角形の一辺の長さは $1.15$ より大きい。

解法2（正五角形と円の幾何による方法）

(1)

cos 2 θ = 2 cos^{2} θ - 1

である。また $cos 3 θ = 2 cos θ cos 2 θ - cos θ$ だから

cos 3 θ = 2 cos θ (2 cos^{2} θ - 1) - cos θ = 4 cos^{3} θ - 3 cos θ

である。

(2)

正五角形を $A B C D E$ とし，一辺の長さを $l$ ，対角線の長さを $d$ とする。

円に内接する四角形 $A B C D$ にトレミーの定理を用いると

d^{2} = l^{2} + l d

である。 $r = d / l$ とおけば $r^{2} - r - 1 = 0$ であり， $r > 0$ だから

r = \frac{1 + 5}{2}

となる。

三角形 $A B C$ は二辺が $l$ ，底辺が $d$ の二等辺三角形で，その外接円半径は1である。底辺 $A C$ への高さを $h$ とすると，面積は $d h /2$ である。外接円半径の公式 $R = ab c / (4 S)$ より

1 = \frac{l ^{2} d}{4 \cdot ( d h /2 )} = \frac{l ^{2}}{2 h}, h = \frac{l ^{2}}{2}

である。一方，三平方の定理から

h^{2} = l^{2} - \frac{d ^{2}}{4} = l^{2} (1 - \frac{r ^{2}}{4})

である。これらを合わせ， $l > 0$ に注意すると

l^{2} = 4 - r^{2} = 4 - \frac{3 + 5}{2} = \frac{5 - 5}{2}

を得る。

ここで

l^{2} - (\frac{23}{20})^{2} = \frac{471 - 200 5}{400}

である。両辺が正であることに注意して平方すると $47 1^{2} = 221841 > 200000 = (2005)^{2}$ だから， $471 > 2005$ である。よって $l^{2} > (23/20)^{2}$ ，したがって $l > 1.15$ である。

京都大学 2023年度文系数学 第3問

問題

方針

解法1（標準解法）

解法2（正五角形と円の幾何による方法）

解答

解法1（標準解法）

(1)

(2)

解法2（正五角形と円の幾何による方法）

(1)

(2)

京都大学 2023年度
文系数学第3問