京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$N=9z^2$ であるから，必要条件として $x^6+y^4\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。

整数 $a$ について，$3\mid a$ なら $a^6\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ であり，$3\nmid a$ なら $a^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。また4乗については，9で割った剰余を調べると $a^4\equiv 0,1,4,7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ のいずれかであり，特に $3\mid a$ のときだけ $a^4\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ となる。

もし $3\nmid x$ なら $x^6\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ である。このとき $y^4$ の剰余は $0,1,4,7$ のいずれかなので，$x^6+y^4\equiv 1,2,5,8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ となり，$0$ にはならない。したがって $3\mid x$ である。すると $x^6\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なので，今度は $y^4\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ が必要であり，$3\mid y$ である。

よって $x,y$ はともに正の3の倍数である。候補を小さい順に見る。$x\geqq 6$ なら $x^6\geqq 6^6>2025$ であるから，$2025$ より小さい値を調べる段階では $x=3$ しかない。さらに $y$ も3の倍数である。

$x=3,y=3$ のとき $$x^6+y^4=3^6+3^4=729+81=810$$ であり，$810=9\cdot 90$ だが $90$ は平方数ではない。したがってこの値は条件を満たさない。

次に $x=3,y=6$ とすると $$3^6+6^4=729+1296=2025=9\cdot {15}^2$$ であるから，$z=15$ として条件を満たす。$x,y$ は正の3の倍数で，これより前の候補は上で尽くしているので，求める最小値は $2025$ である。