京都大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

問1
$z=2(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおく。このとき$$\frac{i}{z}=\frac{i}{2}(\cos \theta -i\sin \theta )=\frac{1}{2}\sin \theta +\frac{i}{2}\cos \theta$$であるから，$$z-\frac{i}{z}=(2\cos \theta -\frac{1}{2}\sin \theta )+i(2\sin \theta -\frac{1}{2}\cos \theta )$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\mid z-\frac{i}{z}\mid }^2}& {\displaystyle ={(2\cos \theta -\frac{1}{2}\sin \theta )}^2+{(2\sin \theta -\frac{1}{2}\cos \theta )}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )+\frac{1}{4}({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )-4\sin \theta \cos \theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{17}{4}-2\sin 2\theta \mathrm{.}}\end{array}$$$-1\leqq \sin 2\theta \leqq 1$ であり，両端の値は実際にとれるので，$$\frac{9}{4}\leqq {\mid z-\frac{i}{z}\mid }^2\leqq \frac{25}{4}$$ となる。よって最小値は ${\displaystyle \frac{3}{2}}$，最大値は ${\displaystyle \frac{5}{2}}$ である。

問2
(1) まず被積分関数を3つに分けると，$$\frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+2x-\frac{2x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}$$である。ここで最後の積分では $x=\tan t$ とおくと、端点は $t=0,\pi \mathrm{/}3$ に対応するから$${\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}={\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}dt=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{x\sqrt{x^2+1}+2x^3+1}{x^2+1}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx+{\int }_0^{\sqrt{3}}(2x-\frac{2x}{x^2+1})dx+{\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{x^2+1}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[\sqrt{x^2+1}\right]}_0^{\sqrt{3}}+{[x^2-\log (x^2+1)]}_0^{\sqrt{3}}+\frac{\pi }{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(2-1)+(3-\log 4)+\frac{\pi }{3}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める値は $4-\log 4+\frac{\pi }{3}$ である。

(2) $0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ では $\sin {\displaystyle \frac{x}{2}}\geqq 0$，$\cos {\displaystyle \frac{x}{2}}>0$ である。半角公式より$$\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\sqrt{\frac{2{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}{2{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{2}}}}=\tan \frac{x}{2}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\tan \frac{x}{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[-2\log (\cos \frac{x}{2})]}_0^{\frac{\pi }{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2\log \frac{\sqrt{2}}{2}=\log 2.}\end{array}$$別解。問2(2)は有理化してもよい。$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ では $\sin x\geqq 0$ だから$$\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\sqrt{\frac{(1-\cos x{)}^2}{{\sin }^{2}x}}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$$である。したがって$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1+\cos x}dx={[-\log (1+\cos x)]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\log 2$$となり，同じ値を得る。