京都大学 2024年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

まず，奇数$a_n$に対して次の項も奇数になる条件を調べる。$a_n$が奇数のとき $$a_{n+1}=\frac{3a_n+1}{2}$$ である。これが奇数であるためには $3a_n+1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ であればよい。これは $3a_n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ と同値であり，$3\equiv -1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$より $a_n\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ である。

長く奇数が続く条件を一般化する。自然数$a_0$を $a_0=2^{r}q-1$ と書く。ただし$q$は奇数，$r\geqq 1$である。この形なら$a_0$は奇数である。奇数の項が続く限り，$$a_{j+1}=\frac{3a_j+1}{2}$$ なので，帰納的に $$a_j=3^j{2}^{r-j}q-1(0\leqq j\leqq r)$$ となる。実際，$j$から$j+1$へは $$\frac{3(3^j{2}^{r-j}q-1)+1}{2}=3^{j+1}{2}^{r-j-1}q-1$$ である。

この式から，$j=0,1,\dots ,r-1$では$a_j$は奇数であり，$j=r$では $a_r=3^{r}q-1$ となって偶数である。したがって，$a_0,a_1,\dots ,a_m$がすべて奇数であるためには $r\geqq m+1$ が必要十分である。最小の$a_0$は$q=1,r=m+1$のときで，$a_0=2^{m+1}-1$ である。

(1)
$a_0,a_1,a_2,a_3$がすべて奇数であるには$m=3$とすればよい。したがって最小値は $2^4-1=15$ である。

(2)
$a_0,a_1,\dots ,a_{10}$がすべて奇数であるには$m=10$とすればよい。したがって最小値は $2^{11}-1=2047$ である。