九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
変換は $$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}}},y^{\mathrm{\prime }}=y$$ である。したがって、$x$ 座標を $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ 倍し、$y$ 座標をそのままにする行列なので$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$である。

(2)
原点中心に角 $\pi \mathrm{/}4$ だけ回転すると $$x^{\mathrm{\prime }}=x\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}-y\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},$$ $$y^{\mathrm{\prime }}=x\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+y\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$ である。よって$$B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)$$である。

(3)
点 $P$ が $y$ 軸上を動くので $$P=(0,t)(t\text{ は実数})$$ とおく。まず $B$ によって $$P^{\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}},{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}})$$ に移る。次に $A$ によって $x$ 座標だけが $1\mathrm{/}\sqrt{2}$ 倍されるから $$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(-{\displaystyle \frac{t}{2}},{\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}})$$ である。 $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=(X,Y)$ とすると $$X=-{\displaystyle \frac{t}{2}},Y={\displaystyle \frac{t}{\sqrt{2}}}$$ である。第1式から $t=-2X$ であり、これを第2式に代入して $Y=-\sqrt{2}X$ を得る。
また $t$ は全ての実数を動くので、$X$ も全ての実数を動く。したがって点 $P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ は直線 $y=-\sqrt{2}x$ 全体の上を動く。
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(1) , (2) で各変換を表す行列を求めた後、$B$ の次に $A$ を作用させる
合成行列が $AB$ であることを使う。$y$ 軸上の点を $(0,t)$ として
$AB$ を一度だけ作用させ、得られた二つの座標から $t$ を消去する。

(1) 座標式は$$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}x,y^{\mathrm{\prime }}=y$$だから$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2) 角 $\pi \mathrm{/}4$ の回転では$$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x-y}{\sqrt{2}}},y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x+y}{\sqrt{2}}}$$なので$$B=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3) $B$ の後に $A$ を作用させる合成行列は$$AB=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)$$である。$P=(0,t)$ とおけば$$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right)=AB\left(\begin{array}{c}0\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-t\mathrm{/}2\\ t\mathrm{/}\sqrt{2}\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって $t=-2X$ を第2式へ入れて$$Y=-\sqrt{2}X$$を得る。$t$ は全実数を動くので、$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}$ は直線
$y=-\sqrt{2}x$ 全体を動く。