九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x=0$ を代入して $f(0)=a^2+a$ であるから $P=(0,a^2+a)$ である。

(2) $f(a)=-a^2+a^2+a=a$ なので $Q(a,a)$ は放物線上にある。また $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x$ であるから、$Q$ における接線の傾きは $-2a$ である。したがって $y-a=-2a(x-a)$ より $y=-2ax+2a^2+a$ である。

(3) $x$ 軸との交点では $y=0$ であるから $0=-2ax+2a^2+a$ である。$a>0$ より $x=a+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。よって $$R=(a+{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$ である。

(4)
面積 $S$ は、$0\leqq x\leqq a$ の放物線の下の面積と、線分 $QR$ と $x$ 軸でできる直角三角形の面積の和である。したがって$$S={\int }_0^a(-x^2+a^2+a)dx+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a$$である。計算すると$${\int }_0^a(-x^2+a^2+a)dx={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3+a^2$$であり、$$S={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3+a^2+{\displaystyle \frac{a}{4}}$$ となる。

(5)
座標から $$OP=a^2+a,OR=a+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。条件 $OP=OR$ より $a^2+a=a+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。したがって $a^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、$a>0$ だから $a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ である。

これを (4) の式に代入する。$$a^2={\displaystyle \frac{1}{2}},a^3={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$$ なので$$S={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{24}}$$である。
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(1) 〜(3) で交点と接線を求める。(4) の領域は、両座標軸と接線が作る
大きな直角三角形から、接線と放物線の間の面積を引いて求める。
(5) は座標から $OP$, $OR$ を読み、正の $a$ を決めて面積式へ代入する。

(1) $f(0)=a^2+a$ より$$P=(0,a^2+a)\mathrm{.}$$(2) $f(a)=a$, $f^{\mathrm{\prime }}(a)=-2a$ なので$$y=-2ax+2a^2+a\mathrm{.}$$(3) 接線で $y=0$ とおくと$$R=(a+{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\mathrm{.}$$(4) 両座標軸と接線が作る三角形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})(2a^2+a)={\displaystyle \frac{a(2a+1{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$接線と放物線の高さの差は $(x-a{)}^2$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a(2a+1{)}^2}{4}}-{\int }_0^a(a-x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^3+a^2+{\displaystyle \frac{a}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$(5) 座標から$$OP=a^2+a,OR=a+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$OP=OR$ より $a^2=1\mathrm{/}2$ であり、$a>0$ だから$$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$$a^2=1\mathrm{/}2$, $a^3=\sqrt{2}\mathrm{/}4$ を (4) へ代入すると$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{7\sqrt{2}}{24}}\mathrm{.}$$