九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2ax+1-a$$だから$${\int }_0^1(f^{\mathrm{\prime }}(x){)}^{2}dx=1+{\displaystyle \frac{a^2}{3}}\mathrm{.}$$一方、$${\int }_0^{1}2f(x)dx=2({\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{1-a}{2}})=1-{\displaystyle \frac{a}{3}}\mathrm{.}$$よって、与えられた積分を $I(a)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2+a}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{(a+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
(1)の値を代入すると$$f(x)-x={\displaystyle \frac{1}{2}}x(1-x)\mathrm{.}$$$$\varphi (x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x(1-x)$$と置けば、$0\leqq x\leqq 1$ において$$0\leqq \varphi (x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$しかも連続性により、この区間の値をすべて取る。したがって$$g(k)=\max \{\mid k\mid ,\mid {\displaystyle \frac{1}{8}}-k\mid \}\mathrm{.}$$これは2端点 $0,1\mathrm{/}8$ から $k$ までの距離の大きい方である。両距離が等しい中央を選べばよいから$$k={\displaystyle \frac{1}{16}}\mathrm{.}$$

積分値をすべて展開せず、$a$ で微分して最小点を決める。(2)では特定の2点だけから最大誤差の下限を作り、その下限を実現する $k$ を示す。

(1)
$I(a)$ を与えられた積分とする。被積分関数は $a$ の多項式なので、直接 $a$ で微分できる。ここで$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }a}}=x^2-x,{\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }{f}^{\mathrm{\prime }}}{\mathrm{\partial }a}}=2x-1$$だから$$I^{\mathrm{\prime }}(a)={\int }_0^1\{2f^{\mathrm{\prime }}(x)(2x-1)-2(x^2-x)\}dx\mathrm{.}$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=1+a(2x-1)$ を代入すると$$I^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{2a+1}{3}},I^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{2}{3}}>0.$$よって唯一の最小点は$$a=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)$$f(x)-(x+k)={\displaystyle \frac{1}{2}}x(1-x)-k\mathrm{.}$$$x=0$ と $x=1\mathrm{/}2$ の2点だけを調べても$$g(k)\geqq \max \{\mid k\mid ,\mid {\displaystyle \frac{1}{8}}-k\mid \}\mathrm{.}$$任意の実数 $k$ について$$\max \{\mid k\mid ,\mid {\displaystyle \frac{1}{8}}-k\mid \}\geqq {\displaystyle \frac{1}{16}}$$である。実際、両方が $1\mathrm{/}16$ 未満なら、三角不等式から2端点間の距離 $1\mathrm{/}8$ も $1\mathrm{/}8$ 未満となり矛盾する。

一方、$k=1\mathrm{/}16$ とすれば$$-{\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}x(1-x)-{\displaystyle \frac{1}{16}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{16}}$$だから、最大値は実際に $1\mathrm{/}16$ となる。したがって$$k={\displaystyle \frac{1}{16}}\mathrm{.}$$