九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$(1)$ 区間 $[\alpha ,x]$ の曲線下の面積に、線分 $OA$ の下の三角形を加え、線分 $OP$ の下の三角形を引く。したがって$$S(x)={\int }_{\alpha }^{x}f(t)dt-{\displaystyle \frac{1}{2}}\{xf(x)-\alpha f(\alpha )\}\mathrm{.}$$$(2)$ (1)を $x$ で微分すると$${\displaystyle \frac{dS}{dx}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\{f(x)-x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\}\mathrm{.}$$与えられた関数では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{bx}{a\sqrt{a^2-x^2}}}$$だから$$f(x)-x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{ab}{\sqrt{a^2-x^2}}}\mathrm{.}$$$x=a\sin \theta$ とおけば$${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=a\cos \theta ,\sqrt{a^2-x^2}=a\cos \theta \mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{dS}{d\theta }}={\displaystyle \frac{dS}{dx}}{\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}={\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{.}$$\newpage
$(3)$ $\alpha =0$、$f(x)=xg(x)$ とおく。(1)の面積公式を微分すると$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2{g}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$一方$$S^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\log (x+1)+{\displaystyle \frac{x^3}{x+1}}\mathrm{.}$$したがって$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-6\log (x+1)-{\displaystyle \frac{2x}{x+1}}\mathrm{.}$$積分すると$$g(x)=C+4x-(6x+4)\log (x+1),$$ただし $C$ は任意の実数である。よって$$f(x)=x\{C+4x-(6x+4)\log (x+1)\}\mathrm{.}$$この関数は $f(0)=0$ である。また$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-10-12\log (x+1)+{\displaystyle \frac{8}{x+1}}+{\displaystyle \frac{2}{(x+1{)}^2}}\mathrm{.}$$右辺は $x=0$ で0、その導関数は $x\geqq 0$ で負だから、$x>0$ で $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ となる。したがって元の「上に凸」の条件も満たす。

(1) は境界の向きから面積を直接組み立てる。(2)は楕円弧の積分を実行すると、$\theta$ に依存する部分が一次式になる。(3)は $(f\mathrm{/}x{)}^{\mathrm{\prime }}$ を使って直接積分する。

$(1)$ 原点から $A$ までの三角形、$A$ から $P$ までの曲線下、原点から $P$ までの三角形を符号付きで加えると$$S(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\alpha f(\alpha )+{\int }_{\alpha }^{x}f(t)dt-{\displaystyle \frac{1}{2}}xf(x)\mathrm{.}$$これは解法1と同じ式である。

$(2)$ $x=a\sin \theta$ とおくと$$f(x)dx={\displaystyle \frac{b}{a}}(a\cos \theta )a\cos \theta d\theta =ab{\cos }^2\theta d\theta \mathrm{.}$$したがって曲線下の面積のうち $x$ に依存する部分は$${\displaystyle \frac{ab}{2}}(\theta +\sin \theta \cos \theta )$$である。一方$${\displaystyle \frac{1}{2}}xf(x)={\displaystyle \frac{ab}{2}}\sin \theta \cos \theta \mathrm{.}$$ゆえに $S(x)$ のうち $\theta$ に依存する部分は$${\displaystyle \frac{ab}{2}}\theta$$だけである。
残りは $\alpha$ だけで決まる定数だから$${\displaystyle \frac{dS}{d\theta }}={\displaystyle \frac{ab}{2}}\mathrm{.}$$\newpage
$(3)$ $\alpha =0$ のとき、(1)を微分して$$2S^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)-x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}$$したがって$${\left({\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)-f(x)}{x^2}}=-{\displaystyle \frac{2S^{\mathrm{\prime }}(x)}{x^2}}\mathrm{.}$$$S(x)=x^3\log (x+1)$ を代入すると$${\left({\displaystyle \frac{f(x)}{x}}\right)}^{\mathrm{\prime }}=-6\log (x+1)-{\displaystyle \frac{2x}{x+1}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=C+4x-(6x+4)\log (x+1),$$すなわち$$f(x)=x\{C+4x-(6x+4)\log (x+1)\}\mathrm{.}$$任意定数 $C$ による項 $Cx$ は直線 $OP$ と曲線の面積差へ寄与しない。また $C$ は2階微分にも影響せず、解法1で確認した上に凸の条件を保つ。