九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
与えられた微分方程式から$$x(t)=A{e}^t,y(t)=B{e}^{-2t}$$と書ける。したがって$$z(t)=A{e}^t+B{e}^{-2t}\mathrm{.}$$$t=\log 2$ において値が3、微分係数が0だから$$2A+{\displaystyle \frac{B}{4}}=3,2A-{\displaystyle \frac{B}{2}}=0.$$これを解いて $A=1,B=4$ である。よって$$z(t)=e^t+4e^{-2t}\mathrm{.}$$(2)$$z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=e^t+16e^{-2t}>0$$だから、$z^{\mathrm{\prime }}(t)$ は単調に増加する。$t$ を固定して$$H(s)=z(s)-z(t)-(s-t)z^{\mathrm{\prime }}(t)$$と置くと$$H^{\mathrm{\prime }}(s)=z^{\mathrm{\prime }}(s)-z^{\mathrm{\prime }}(t)\mathrm{.}$$したがって $s<t$ では $H^{\mathrm{\prime }}(s)<0$、$s>t$ では $H^{\mathrm{\prime }}(s)>0$ である。よって $H$ は $s=t$ で最小となり、$$H(s)\geqq H(t)=0.$$すなわち$$z(s)\geqq z(t)+(s-t)z^{\mathrm{\prime }}(t)$$がすべての実数 $s,t$ で成り立つ。

$x,y$ を $z,z^{\mathrm{\prime }}$ で表して $z$ だけの2階方程式を作る。不等式は $e^u\geqq 1+u$ を2回適用して、差を非負項の和にする。

(1) $$z=x+y,z^{\mathrm{\prime }}=x-2y$$から$$x={\displaystyle \frac{2z+z^{\mathrm{\prime }}}{3}},y={\displaystyle \frac{z-z^{\mathrm{\prime }}}{3}}\mathrm{.}$$また$$z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=x+4y=2z-z^{\mathrm{\prime }},$$したがって$$z^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+z^{\mathrm{\prime }}-2z=0.$$この方程式の解は$$z(t)=A{e}^t+B{e}^{-2t}$$であり、$t=\log 2$ で $z=3,z^{\mathrm{\prime }}=0$ を代入すると $A=1,B=4$ となる。よって$$z(t)=e^t+4e^{-2t}\mathrm{.}$$(2)
次に $h=s-t$ と置く。示すべき差は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle z(s)-z(t)-(s-t)z^{\mathrm{\prime }}(t)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e^t(e^h-1-h)+4e^{-2t}(e^{-2h}-1+2h)\mathrm{.}}\end{array}$$任意の実数 $u$ について$$e^u\geqq 1+u$$である。この不等式を $u=h$ と $u=-2h$ に適用すれば、上式の2つの括弧はともに0以上である。係数も正だから差全体が0以上となり、$$z(s)\geqq z(t)+(s-t)z^{\mathrm{\prime }}(t)$$が従う。