九州大学 1982年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

$(1)$ $f(\beta )=1$、$f^{\mathrm{\prime }}(\beta )=0$ だから、$f(x)-1$ は $x=\beta$ を重解にもつ。また定数項が0なので $x=0$ も解である。最高次係数は1だから$$f(x)-1=x(x-\beta {)}^2\mathrm{.}$$したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x-\beta )(3x-\beta )\mathrm{.}$$もう一つの停留点は $x=\beta \mathrm{/}3$ だから$$\alpha ={\displaystyle \frac{\beta }{3}}\mathrm{.}$$極大値条件より$$33=f\left({\displaystyle \frac{\beta }{3}}\right)=1+{\displaystyle \frac{4{\beta }^3}{27}}\mathrm{.}$$よって ${\beta }^3=216$、$\beta =6$ である。したがって$$\alpha =2,f(x)=x(x-6{)}^2+1=x^3-12x^2+36x+1.$$ゆえに$$a=-12,b=36.$$$(2)$ $f(x)-1=x(x-6{)}^2$ は $0\leqq x\leqq 6$ で非負である。したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^6\{f(x)-1\}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{6}x(x-6{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-4x^3+18x^2]}_0^6}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =108.}\end{array}$$

極小点での関数値と導関数の二条件から $a,b$ を $\beta$ で表す。もう一方の停留点と極大値条件で $\beta$ を決める。

$(1)$ $f(\beta )=1$、$f^{\mathrm{\prime }}(\beta )=0$ より$${\beta }^2+a\beta +b=0,3{\beta }^2+2a\beta +b=0.$$両式の差と $\beta >0$ から$$a=-2\beta ,b={\beta }^2\mathrm{.}$$したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-4\beta x+{\beta }^2=(x-\beta )(3x-\beta )\mathrm{.}$$極大点は $\alpha =\beta \mathrm{/}3$ である。さらに$$33=f\left({\displaystyle \frac{\beta }{3}}\right)=1+{\displaystyle \frac{4{\beta }^3}{27}}$$より $\beta =6$ を得る。よって$$a=-12,b=36,\alpha =2,\beta =6.$$$(2)$ このとき$$f(x)-1=x^3-12x^2+36x=x(x-6{)}^2\mathrm{.}$$直線 $y=1$ との交点は $x=0,6$ であり、その間では曲線が直線の上にある。ゆえに$${\int }_0^{6}x(x-6{)}^{2}dx=108.$$したがって面積は $108$ である。