九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
1回目で $A$ が勝つには、白玉を取り出せばよい。したがって $$p_1={\displaystyle \frac{a}{12}}$$ である。
2回目で $B$ が勝つには、1回目に $A$ が白玉を取り出さず、2回目に $B$ が赤玉を取り出す必要がある。玉は毎回戻すので各回の確率は変わらない。よって $$q_1={\displaystyle \frac{12-a}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{12}}={\displaystyle \frac{b(12-a)}{144}}$$ である。

(2)
2回を1周期として考える。1周期でゲームが終わらない確率は、$A$ が白を引かず、さらに $B$ が赤を引かない確率なので $$r={\displaystyle \frac{12-a}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{12-b}{12}}={\displaystyle \frac{(12-a)(12-b)}{144}}$$ である。 $(2n-1)$ 回目で $A$ が勝つには、その前の $n-1$ 周期でゲームが終わらず、次に $A$ が白玉を引けばよい。したがって$$p_n=r^{n-1}{\displaystyle \frac{a}{12}}={\left\{{\displaystyle \frac{(12-a)(12-b)}{144}}\right\}}^{n-1}{\displaystyle \frac{a}{12}}$$である。

(3) $2n$ 回目で $B$ が勝つには、その前の $n-1$ 周期でゲームが終わらず、さらにその周期の $A$ が白玉を引かず、続いて $B$ が赤玉を引けばよい。よって $$q_n=r^{n-1}{\displaystyle \frac{12-a}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{b}{12}}$$ であり、$$q_n={\left\{{\displaystyle \frac{(12-a)(12-b)}{144}}\right\}}^{n-1}{\displaystyle \frac{b(12-a)}{144}}$$である。

(4) $a,b\geqq 1$ なので $0\leqq r<1$ であり、無限等比級数の和を使える。 $$1-r=1-{\displaystyle \frac{(12-a)(12-b)}{144}}={\displaystyle \frac{12a+12b-ab}{144}}$$ である。したがって$$S=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_n={\displaystyle \frac{a\mathrm{/}12}{1-r}}={\displaystyle \frac{12a}{12a+12b-ab}}$$であり、$$T=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{q}_n={\displaystyle \frac{b(12-a)\mathrm{/}144}{1-r}}={\displaystyle \frac{b(12-a)}{12a+12b-ab}}$$である。

(5) $S=T$ は分母が共通なので $12a=b(12-a)$ と同値である。よって $$b={\displaystyle \frac{12a}{12-a}}$$ である。
また $c\geqq 1$, $a+b+c=12$ より $a+b\leqq 11$ である。さらに $a\geqq 3$, $b\geqq 4$ なので、調べるべき $a$ は $3\leqq a\leqq 7$ に限られる。$$\begin{array}{cccccc}a& 3& 4& 5& 6& 7\\ {\displaystyle \frac{12a}{12-a}}& 4& 6& {\displaystyle \frac{60}{7}}& 12& {\displaystyle \frac{84}{5}}\end{array}$$である。このうち整数で、かつ $a+b\leqq 11$ を満たすものは $(a,b)=(3,4),(4,6)$ である。

(1) 〜(3) はAの手番・Bの手番の二状態を往復する確率として整理する。
(4) ではAの手番から最終的にAが勝つ確率を $S$、Bの手番からAが勝つ確率を
$U$ とおき、二つの状態方程式を解く。$T=1-S$ も確認する。
(5) は $S=T$ を積 $(12-a)(12+b)=144$ に変形し、因数対で整数条件を絞る。

(1) $$p_1={\displaystyle \frac{a}{12}},q_1={\displaystyle \frac{b(12-a)}{144}}\mathrm{.}$$(2) AもBも勝たず、次のAの手番へ戻る確率を$$r={\displaystyle \frac{12-a}{12}}{\displaystyle \frac{12-b}{12}}={\displaystyle \frac{(12-a)(12-b)}{144}},p_n=r^{n-1}{\displaystyle \frac{a}{12}}$$とおく。$p_n$ は最初の $n-1$ 周期が未決着で、その直後にAが勝つ確率である。

(3) 同じ $n-1$ 周期の後、Aが白を引かずBが赤を引くので$$q_n=r^{n-1}{\displaystyle \frac{b(12-a)}{144}}\mathrm{.}$$(4) Aの手番から最終的にAが勝つ確率を $S$、Bの手番から
最終的にAが勝つ確率を $U$ とする。最初の一回に注目して$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{12}}+{\displaystyle \frac{12-a}{12}}U,}& {\displaystyle U}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{12-b}{12}}S,}\\ {\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{12a}{12a+12b-ab}},}& {\displaystyle T=1-S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{b(12-a)}{12a+12b-ab}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $0\leqq r<1$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{r}^n=0$$であり、
ゲームが無限に続く確率は零である。

(5) $S=T$ は $12a=b(12-a)$、すなわち
$(12-a)(12+b)=144$ と同値である。
$u=12-a$, $v=12+b$ とおけば $uv=144$ であり、
$a\geqq 3$, $b\geqq 4$ から $u\leqq 9$, $v\geqq 16$ である。
$c\geqq 1$ から $v-u\leqq 11$ も必要である。$144$ の因数対を調べると$$(u,v)=(8,18),(9,16),(a,b)=(4,6),(3,4)\mathrm{.}$$