九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

赤玉、白玉が出る確率をそれぞれ$$p={\displaystyle \frac{1}{3}},q={\displaystyle \frac{2}{3}}$$とする。

(1)
$B$ 君が勝つのは、$WWW$ または、最初の3回に $R$ が1回、$W$ が2回出た後に $W$ が出る場合である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(B\text{君の勝ち})}& {\displaystyle =q^3+3p{q}^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{27}}+{\displaystyle \frac{8}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$X$ の値は $2,3,4$ のいずれかである。$$P(X=2)=p^2={\displaystyle \frac{1}{9}}\mathrm{.}$$3回で終わるのは $WWW$ または、最初の2回に $R,W$ が1回ずつ出て最後が $R$ の場合だから$$P(X=3)=q^3+2p^{2}q={\displaystyle \frac{8}{27}}+{\displaystyle \frac{4}{27}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$よって$$P(X=4)=1-{\displaystyle \frac{1}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$確率分布は$$\begin{array}{cccc}X& 2& 3& 4\\ P(X)& {\displaystyle \frac{1}{9}}& {\displaystyle \frac{4}{9}}& {\displaystyle \frac{4}{9}}\end{array}$$である。

(1) は $A$ 君が勝つ場合を、2個目の赤玉が出る時刻で数えて余事象を取る。(2)は各時刻までゲームが続いている確率の差から分布を作る。

(1)
$A$ 君が勝つのは、2個目の赤玉が2、3、4回目に出る場合である。その確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\text{君の勝ち})}& {\displaystyle =p^2+2p^{2}q+3p^2{q}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{9}}+{\displaystyle \frac{4}{27}}+{\displaystyle \frac{4}{27}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{11}{27}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって余事象より$$P(B\text{君の勝ち})=1-{\displaystyle \frac{11}{27}}={\displaystyle \frac{16}{27}}\mathrm{.}$$(2)
まず $X\geqq 2$ は確実である。2回で終了するのは $RR$ だけだから$$P(X\geqq 3)=1-p^2={\displaystyle \frac{8}{9}}\mathrm{.}$$3回を終えてもゲームが続くには、赤1個、白2個でなければならない。したがって$$P(X\geqq 4)=3p{q}^2={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$よって差を取れば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X=2)}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{8}{9}}={\displaystyle \frac{1}{9}},}\\ {\displaystyle P(X=3)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8}{9}}-{\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{4}{9}},}\\ {\displaystyle P(X=4)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$P(X=2)={\displaystyle \frac{1}{9}},P(X=3)={\displaystyle \frac{4}{9}},P(X=4)={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$