九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1)
箱 $a$ の札の総数も、箱 $b$ の札の総数も $$T=1+2+\cdots +n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$ である。Aが数字 $i$ を取り、Bが数字 $j$ を取る確率は $${\displaystyle \frac{i}{T}}\cdot {\displaystyle \frac{n+1-j}{T}}={\displaystyle \frac{i(n+1-j)}{T^2}}$$ である。Aが勝つのは $i>j$ のときなので、求める確率を $P$ とすると $$P={\displaystyle \frac{1}{T^2}}\sum _{i=1}^{n}i\sum _{j=1}^{i-1}(n+1-j)$$ である。内側の和を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}(n+1-j)}& {\displaystyle =(i-1)(n+1)-{\displaystyle \frac{(i-1)i}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(i-1)(2n+2-i)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2T^2}}\sum _{i=1}^{n}i(i-1)(2n+2-i)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2T^2}}\sum _{i=1}^n\{-i^3+(2n+3)i^2-(2n+2)i\}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで$$\sum _{i=1}^{n}i={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}},\sum _{i=1}^n{i}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}},\sum _{i=1}^n{i}^3={\left\{{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\right\}}^2$$を用いると、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i(i-1)(2n+2-i)}& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}}+(2n+3){\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -(2n+2){\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n+1)(n-1)(5n+6)}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{n(n+1)(n-1)(5n+6)}{12}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{n^2(n+1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n-1)(5n+6)}{6n(n+1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
Aの札の数字を $X$、Bの札の数字を $Y$ とする。Aが勝つときの得点は $X-Y$、Bが勝つときのAの得点は $-(Y-X)=X-Y$、引き分けのときも $X-Y=0$ である。したがって、Aの得点は常に $X-Y$ と表せる。

まず$$E(X)=\sum _{i=1}^{n}i\cdot {\displaystyle \frac{i}{T}}={\displaystyle \frac{1}{T}}\sum _{i=1}^n{i}^2={\displaystyle \frac{1}{T}}\cdot {\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}={\displaystyle \frac{2n+1}{3}}$$である。また$$E(Y)=\sum _{j=1}^{n}j\cdot {\displaystyle \frac{n+1-j}{T}}={\displaystyle \frac{1}{T}}\{(n+1)\sum _{j=1}^{n}j-\sum _{j=1}^n{j}^2\}$$であるから、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(Y)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{T}}\{(n+1){\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}-{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n+2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よってAの得点の期待値は$$E(X-Y)=E(X)-E(Y)={\displaystyle \frac{2n+1}{3}}-{\displaystyle \frac{n+2}{3}}={\displaystyle \frac{n-1}{3}}\mathrm{.}$$

Bが j を引いた場合に、Aが j より大きい札を引く確率を足す。(2)は得点を X-Y と見て、各箱の平均値の差を取る。

(1)

両箱の札の総数を $T=n(n+1)\mathrm{/}2$ とする。Bが $j$ を引く重みは $n+1-j$ であり、そのときAが勝つ札の重みは$$\sum _{i=j+1}^{n}i={\displaystyle \frac{n(n+1)-j(j+1)}{2}}$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(A\text{の勝ち})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{T^2}}\sum _{j=1}^n(n+1-j){\displaystyle \frac{n(n+1)-j(j+1)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n-1)(5n+6)}{6n(n+1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

A、Bの札の数字を $X,Y$ とする。勝敗を問わずAの得点は $X-Y$ である。よって$$E(X)={\displaystyle \frac{2n+1}{3}},E(Y)={\displaystyle \frac{n+2}{3}}$$から$$E(X-Y)={\displaystyle \frac{n-1}{3}}\mathrm{.}$$