九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第5問

(1) 赤球を取り出したときの記録 $+1$ を単に $+$，白球の記録 $-1$ を $-$ と書く。各回の確率は $$P(+)={\displaystyle \frac{2}{5}},P(-)={\displaystyle \frac{3}{5}}$$ である。

符号の変化が1回だけ起こるためには，ある $r$ $(1\leqq r\leqq n-1)$ について，初めの $r$ 個が同じ符号で，残りの $n-r$ 個が反対の符号でなければならない。したがって$$P_n=\sum _{r=1}^{n-1}\{{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-r}+{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-r}\}$$である。

第一の和を計算する。$$\sum _{r=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-r}={\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n\sum _{r=1}^{n-1}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^r$$であるから$$={\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}\}}{1-{\displaystyle \frac{2}{3}}}}=2\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{3}{5}}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}$$である。同様に第二の和は$$3\{{\displaystyle \frac{2}{5}}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n\}$$である。これらを足して整理すると$$P_n={\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}$$となる。よって$$P_n={\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}$$である。

(2) 符号の変化が2回以上起こる事象は，「符号変化が0回」でも「符号変化が1回」でもない事象である。符号変化が0回である確率は，すべて $+$ またはすべて $-$ なので ${\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n$ である。したがって$$Q_n=1-\{{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n\}-P_n$$であり，(1) の結果を代入して$$Q_n=1-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}$$である。

変化0回の列と、変化1回で終符号が正・負の列を分ける。末尾へ一符号を追加する漸化式から閉じた形を得る。

$p=2\mathrm{/}5$、$q=3\mathrm{/}5$ と置く。

(1)
変化が1回で最後が $+$ となる確率を $X_n$、最後が $-$ となる確率を $Y_n$ とする。末尾へ符号を加えると$$X_{n+1}=p(X_n+q^n),Y_{n+1}=q(Y_n+p^n),$$$X_1=Y_1=0$ である。これを繰り返すと$$X_n=Y_n={\displaystyle \frac{pq}{q-p}}(q^{n-1}-p^{n-1})\mathrm{.}$$従って$$P_n=X_n+Y_n={\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}\mathrm{.}$$(2)
変化0回の確率は $p^n+q^n$ だから$$Q_n=1-p^n-q^n-P_n\mathrm{.}$$すなわち$$Q_n=1-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}\mathrm{.}$$