九州大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $f(x)=(ax+b{x}^2)e^x$ であるから、積の微分により $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(a+2bx)e^x+(ax+b{x}^2)e^x$$ である。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{b{x}^2+(a+2b)x+a\}{e}^x$$ である。

(2)
微分方程式 $dy\mathrm{/}dx=y+e^x$ に $y=f(x)$ を代入すると $$\{b{x}^2+(a+2b)x+a\}{e}^x=\{ax+b{x}^2+1\}{e}^x$$ である。$e^x\mathrm{\ne }0$ なので係数を比較すると、$x^2$ の係数は自動的に一致し、$x$ の係数から $a+2b=a$ すなわち $b=0$ を得る。また定数項から $a=1$ である。よって $a=1,b=0$ である。

(3)
以後 $f(x)=x{e}^x$ である。このとき $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)e^x$ であり、$e^x>0$ だから $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x+1$ の符号で決まる。したがって $x<-1$ で減少し、$x>-1$ で増加する。
よって $x=-1$ で極小値をとり、その値は $f(-1)=-{\displaystyle \frac{1}{e}}$ である。極大値はない。

(4) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)e^x$ をもう一度微分して $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x$$ である。

(5)
グラフを描くための特徴をまとめる。
まず $f(0)=0$ なので原点を通る。(3) より $(-1,-1\mathrm{/}e)$ で極小となる。
また $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(x+2)e^x$ であり、$e^x>0$ だから、$x=-2$ で凹凸が変わる。その点は $(-2,-{\displaystyle \frac{2}{e^2}})$ である。
さらに$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^x=0$$であり、$x<0$ では $x{e}^x<0$ なので、左端では $x$ 軸に下側から近づく。一方、$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^x=\mathrm{\infty }$$である。

したがって、左では $x$ 軸の下側から近づき、$(-2,-2\mathrm{/}{e}^2)$ で凹凸を変え、$(-1,-1\mathrm{/}e)$ で極小となり、原点を通って右上へ増加していく曲線を描けばよい。
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(1) は積の微分で求める。(2) では微分方程式を
$y^{\mathrm{\prime }}-y=e^x$ とし、両辺に $e^{-x}$ を掛けて
$(e^{-x}y{)}^{\mathrm{\prime }}=1$ と読む。一般形と指定された多項式を比較して
$a,b$ を決める。後半は導関数・第2次導関数と極限を一枚の増減・凹凸図にまとめる。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{b{x}^2+(a+2b)x+a\}{e}^x\mathrm{.}$$(2) 微分方程式を $y^{\mathrm{\prime }}-y=e^x$ と書き、$e^{-x}$ を掛けると$$(e^{-x}y{)}^{\mathrm{\prime }}=1.$$したがって $e^{-x}y=x+C$、すなわち$$y=(x+C)e^x$$である。一方、指定された形では $e^{-x}y=ax+b{x}^2$ だから、
恒等的に一致するには$$a=1,b=0,C=0$$でなければならない。

(3) 以後 $f(x)=x{e}^x$ である。$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=(x+1)e^x$$より、$x<-1$ で減少、$x>-1$ で増加する。したがって
$x=-1$ で極小値 $-1\mathrm{/}e$ を取り、極大値はない。

(4) $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(x+2)e^x\mathrm{.}$$(5) $x=-2$ で凹凸が変わり、変曲点は
$(-2,-2\mathrm{/}{e}^2)$ である。また原点を通り、$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^x=0,\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^x=\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$左では $x$ 軸の下側から近づき、変曲点、極小点、原点を順に通って右上へ増加する。