九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $g$ 上の点を $Q=(u,u,u)$ と置く。直線 $g$ の方向ベクトルは $(1,1,1)$ だから、$PQ\perp g$ より$$(u-\cos \theta )+(u-\sin \theta )+u=0.$$したがって$$u={\displaystyle \frac{\cos \theta +\sin \theta }{3}},$$ゆえに$$Q=({\displaystyle \frac{\cos \theta +\sin \theta }{3}},{\displaystyle \frac{\cos \theta +\sin \theta }{3}},{\displaystyle \frac{\cos \theta +\sin \theta }{3}})\mathrm{.}$$$OQ$ は $g$ 上にあり、$PQ\perp g$ なので、三角形 $OPQ$ は $Q$ で直角である。また $OP=1$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P{Q}^2}& {\displaystyle =O{P}^2-O{Q}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-3u^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{(\cos \theta +\sin \theta {)}^2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2-\sin 2\theta }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\mid \overrightarrow{PQ}\mid =\sqrt{{\displaystyle \frac{2-\sin 2\theta }{3}}}\mathrm{.}$$(2)$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}$$ より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}}& {\displaystyle =u(\cos \theta +\sin \theta )-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\cos \theta +\sin \theta {)}^2}{3}}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sin 2\theta -2}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$これが $-1\mathrm{/}2$ だから$$\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$0<2\theta <2\pi$ に注意すると$$2\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}}\mathrm{.}$$したがって$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{12}},{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\mathrm{.}$$

$g$ の単位方向ベクトルを用い、$Q$ を $\overrightarrow{OP}$ の $g$ への正射影として直接求める。(2)では射影成分と垂直成分の分解から、内積を長さの二乗へ読み替える。

(1)
直線 $g$ の単位方向ベクトルを$$\mathit{e}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1,1,1)$$とする。$Q$ は $P$ から $g$ へ下ろした垂線の足だから$$\overrightarrow{OQ}=(\overrightarrow{OP}\cdot \mathit{e})\mathit{e}={\displaystyle \frac{\cos \theta +\sin \theta }{3}}(1,1,1)\mathrm{.}$$これで $Q$ の座標が得られる。

また、正射影による直交分解から$$O{P}^2=O{Q}^2+P{Q}^2\mathrm{.}$$したがって$$P{Q}^2=1-{\displaystyle \frac{(\cos \theta +\sin \theta {)}^2}{3}}={\displaystyle \frac{2-\sin 2\theta }{3}},$$よって$$\mid \overrightarrow{PQ}\mid =\sqrt{{\displaystyle \frac{2-\sin 2\theta }{3}}}\mathrm{.}$$(2)
さらに$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP},\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{QP}\mathrm{.}$$ここで $\overrightarrow{OQ}\perp \overrightarrow{QP}$ だから$$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=-\mid \overrightarrow{QP}{\mid }^2=-P{Q}^2\mathrm{.}$$内積が $-1\mathrm{/}2$ であることは$$P{Q}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$$と同値である。したがって$${\displaystyle \frac{2-\sin 2\theta }{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}},\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$範囲を調べて$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{12}},{\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\mathrm{.}$$