九州大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$A=a^{{\displaystyle \frac{n}{n+1}}}$$ とおく。すると2曲線は $$C_1:y={\displaystyle \frac{x^{2n}}{2A}},C_2:y=A-{\displaystyle \frac{x^{2n}}{2A}}$$ である。交点では $${\displaystyle \frac{x^{2n}}{2A}}=A-{\displaystyle \frac{x^{2n}}{2A}}$$ だから $$x^{2n}=A^2=a^{{\displaystyle \frac{2n}{n+1}}}$$ である。よって $$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=a^{{\displaystyle \frac{1}{n+1}}}$$ となる。

区間 $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<a^{1\mathrm{/}(n+1)}$ では $C_2$ が上側、$C_1$ が下側である。したがって $D_1$ の面積を $S_1$ とすると$$S_1={\int }_{-a^{1\mathrm{/}(n+1)}}^{a^{1\mathrm{/}(n+1)}}(A-{\displaystyle \frac{x^{2n}}{A}})dx$$である。被積分関数は偶関数なので$$S_1=2{\int }_0^{a^{1\mathrm{/}(n+1)}}(A-{\displaystyle \frac{x^{2n}}{A}})dx$$となる。ここで $L=a^{1\mathrm{/}(n+1)}$ とおくと、$AL=a$、$L^{2n+1}\mathrm{/}A=a$ であるから$$S_1=2(AL-{\displaystyle \frac{L^{2n+1}}{(2n+1)A}})=2(a-{\displaystyle \frac{a}{2n+1}})$$である。よって $$S_1={\displaystyle \frac{4na}{2n+1}}$$ である。

(2) $D_2$ は $(1)$ の $a$ を $a+1$ に置き換えた図形である。したがってその面積を $S_2$ とすると $$S_2={\displaystyle \frac{4n(a+1)}{2n+1}}$$ である。

また $a+1>a$ であるから$$(a+1{)}^{{\displaystyle \frac{1}{n+1}}}>a^{{\displaystyle \frac{1}{n+1}}},(a+1{)}^{{\displaystyle \frac{n}{n+1}}}>a^{{\displaystyle \frac{n}{n+1}}}$$である。さらに、同じ $x$ に対して下側の曲線 $x^{2n}\mathrm{/}(2A)$ は $A$ が大きいほど低くなり、上側の曲線 $A-x^{2n}\mathrm{/}(2A)$ は $A$ が大きいほど高くなる。したがって $D_1\subset D_2$ である。

よって、$D_1$ の外部と $D_2$ の内部との共通部分は、$D_2$ から $D_1$ を除いた部分であり、その面積は $$S_2-S_1={\displaystyle \frac{4n(a+1)}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{4na}{2n+1}}={\displaystyle \frac{4n}{2n+1}}$$ である。

$a=1$ の図形を基準にする。一般の $a$ は横方向に $a^{1\mathrm{/}(n+1)}$ 倍、縦方向に $a^{n\mathrm{/}(n+1)}$ 倍した図形なので、面積は $a$ 倍になる。包含関係も同じ変形から確認する。

(1)
$a=1$ のときの座標を $(u,v)$ とする。変換$$x=a^{1\mathrm{/}(n+1)}u,y=a^{n\mathrm{/}(n+1)}v$$を行うと$${\displaystyle \frac{x^{2n}}{2a^{n\mathrm{/}(n+1)}}}=a^{n\mathrm{/}(n+1)}{\displaystyle \frac{u^{2n}}{2}}$$となるので、$a=1$ の2曲線はそのまま $C_1,C_2$ へ移る。横と縦の倍率の積は$$a^{1\mathrm{/}(n+1)}{a}^{n\mathrm{/}(n+1)}=a$$だから、面積も $a$ 倍される。

$a=1$ の図形の面積は$$2{\int }_0^1(1-u^{2n})du=2(1-{\displaystyle \frac{1}{2n+1}})={\displaystyle \frac{4n}{2n+1}}\mathrm{.}$$したがって$$\mathrm{\mid }{D}_1\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{4na}{2n+1}}\mathrm{.}$$(2)
$D_2$ は同じ基準図形を横に $(a+1{)}^{1\mathrm{/}(n+1)}$ 倍、縦に $(a+1{)}^{n\mathrm{/}(n+1)}$ 倍したものである。同じ $x$ では $D_2$ の下側境界が $D_1$ より低く、上側境界が高く、左右の端も外側にあるので $D_1\subset D_2$ である。

よって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }{D}_2\mathrm{\mid }-\mathrm{\mid }{D}_1\mathrm{\mid }}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4n(a+1)}{2n+1}}-{\displaystyle \frac{4na}{2n+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4n}{2n+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$