九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $u=\log x$ と置く。$1\mathrm{/}e\leqq x\leqq e$ は $-1\leqq u\leqq 1$ に対応する。また $x=e^u$ であるから、2つの曲線は $$y=u^2{e}^{-u\mathrm{/}2},y=u{e}^{-u\mathrm{/}2}$$ となる。交点は $u^2{e}^{-u\mathrm{/}2}=u{e}^{-u\mathrm{/}2}$ より $u^2=u$ である。したがって $u=0,1$ であり、元の $x$ では $x=1,e$ である。 $-1<u<0$ では $u^2>0$、$u<0$ なので2曲線は上下に離れるが、この区間だけでは2曲線が閉じた部分を作らない。$0<u<1$ では $u>u^2$ であるから、上側は $y=u{e}^{-u\mathrm{/}2}$、下側は $y=u^2{e}^{-u\mathrm{/}2}$ である。したがって、概形では $x=1$ と $x=e$ の間で2曲線に囲まれる部分を斜線で示す。

(2)
この斜線部分を $x$ 軸のまわりに回転する。上側の半径は $u{e}^{-u\mathrm{/}2}$、下側の半径は $u^2{e}^{-u\mathrm{/}2}$ である。また $dx=e^{u}du$ であるから、体積 $V$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_1^e\{{\left({\displaystyle \frac{\log x}{\sqrt{x}}}\right)}^2-{\left({\displaystyle \frac{(\log x{)}^2}{\sqrt{x}}}\right)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1\{u^2{e}^{-u}-u^4{e}^{-u}\}{e}^{u}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1(u^2-u^4)du\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{u^5}{5}}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{5}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$

u=log x とおき、2曲線の差と回転断面積を因数分解する。指数因子が dx と消えることを先に見通し、区間 0≤u≤1 の多項式積分へ落とす。

(1)

$u=\log x$ とおくと、2曲線は$$y_1=u^2{e}^{-u\mathrm{/}2},y_2=u{e}^{-u\mathrm{/}2}$$である。交点は $u=0,1$、すなわち $x=1,e$ で、囲まれた部分では $0<u<1$ かつ $y_2>y_1$ である。

(2)

回転断面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \pi (y_2^2-y_1^2)}& {\displaystyle =\pi e^{-u}(u^2-u^4)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi e^{-u}{u}^2(1-u^2)\mathrm{.}}\end{array}$$$dx=e^{u}du$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1{u}^2(1-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi {[{\displaystyle \frac{u^3}{3}}-{\displaystyle \frac{u^5}{5}}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{15}}\mathrm{.}}\end{array}$$