九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
2つの曲線の交点を求める。方程式は $$x^2=a^2{(x-{\displaystyle \frac{1}{a}})}^2=(ax-1{)}^2$$ である。したがって $$x=ax-1\text{または}x=-(ax-1)$$ である。これを解くと $$x=-{\displaystyle \frac{1}{1-a}},x={\displaystyle \frac{1}{1+a}}$$ となる。ここで $0<a<1$ であるから、左の交点は負、右の交点は正である。

上下関係を確認するために $x=0$ を代入する。すると $$x^2=0,(ax-1{)}^2=1$$ であるから、2つの交点の間では $(ax-1{)}^2\geqq x^2$ であり、上側が $y=(ax-1{)}^2$、下側が $y=x^2$ である。したがって概形は、上に開く2つの放物線が $$x=-{\displaystyle \frac{1}{1-a}},x={\displaystyle \frac{1}{1+a}}$$ で交わり、その間に囲まれる部分を斜線で示せばよい。

(2)
斜線部分を $x$ 軸のまわりに回転する。上側の半径が $(ax-1{)}^2$、下側の半径が $x^2$ であるから、体積 $V_a$ は $$V_a=\pi {\int }_{-1\mathrm{/}(1-a)}^{1\mathrm{/}(1+a)}\{(ax-1{)}^4-x^4\}dx$$ である。積分を実行するため、$$\int \{(ax-1{)}^4-x^4\}dx={\displaystyle \frac{(ax-1{)}^5}{5a}}-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}$$ を用いる。端点を代入する。

まず $$x={\displaystyle \frac{1}{1+a}}$$ では $$ax-1={\displaystyle \frac{a}{1+a}}-1=-{\displaystyle \frac{1}{1+a}}$$ であるから、$${\displaystyle \frac{(ax-1{)}^5}{5a}}-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}=-{\displaystyle \frac{1}{5a(1+a{)}^5}}-{\displaystyle \frac{1}{5(1+a{)}^5}}=-{\displaystyle \frac{1+a}{5a(1+a{)}^5}}=-{\displaystyle \frac{1}{5a(1+a{)}^4}}\mathrm{.}$$次に $$x=-{\displaystyle \frac{1}{1-a}}$$ では $$ax-1=-{\displaystyle \frac{a}{1-a}}-1=-{\displaystyle \frac{1}{1-a}}$$ であるから、$${\displaystyle \frac{(ax-1{)}^5}{5a}}-{\displaystyle \frac{x^5}{5}}=-{\displaystyle \frac{1}{5a(1-a{)}^5}}+{\displaystyle \frac{1}{5(1-a{)}^5}}={\displaystyle \frac{a-1}{5a(1-a{)}^5}}=-{\displaystyle \frac{1}{5a(1-a{)}^4}}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_a}& {\displaystyle =\pi \{-{\displaystyle \frac{1}{5a(1+a{)}^4}}+{\displaystyle \frac{1}{5a(1-a{)}^4}}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{5a}}\cdot {\displaystyle \frac{(1+a{)}^4-(1-a{)}^4}{(1-a^2{)}^4}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $$(1+a{)}^4-(1-a{)}^4=8a+8a^3=8a(1+a^2)$$ であるから、$$V_a={\displaystyle \frac{8\pi (1+a^2)}{5(1-a^2{)}^4}}$$ である。よって $$\underset{a\to 0}{\lim }{V}_a={\displaystyle \frac{8\pi }{5}}$$ となる。

交点を L,R とし、回転体の外側と内側の体積を別々に積分する。一方は u=ax-1、他方はそのまま積分し、端点で同じ形の4乗差にまとめる。

(1)

交点は$$L=-{\displaystyle \frac{1}{1-a}},R={\displaystyle \frac{1}{1+a}}$$であり、$L<x<R$ では $(ax-1{)}^2$ が $x^2$ より上にある。

(2)

したがって$$V_a=\pi \{{\int }_L^R(ax-1{)}^{4}dx-{\int }_L^R{x}^{4}dx\}\mathrm{.}$$第1積分では $u=ax-1$ とおくと$${\int }_L^R(ax-1{)}^{4}dx={\displaystyle \frac{1}{5a}}\{{\displaystyle \frac{1}{(1-a{)}^5}}-{\displaystyle \frac{1}{(1+a{)}^5}}\}\mathrm{.}$$また$${\int }_L^R{x}^{4}dx={\displaystyle \frac{1}{5}}\{{\displaystyle \frac{1}{(1+a{)}^5}}+{\displaystyle \frac{1}{(1-a{)}^5}}\}\mathrm{.}$$整理すると$$V_a={\displaystyle \frac{\pi }{5a}}\{{\displaystyle \frac{1}{(1-a{)}^4}}-{\displaystyle \frac{1}{(1+a{)}^4}}\}={\displaystyle \frac{8\pi (1+a^2)}{5(1-a^2{)}^4}}\mathrm{.}$$よって$$\underset{a\to 0}{\lim }{V}_a={\displaystyle \frac{8\pi }{5}}\mathrm{.}$$