九州大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とする。$A^2=E$ を成分で書くと $a^2+bc=1,$ $b(a+d)=0,$ $c(a+d)=0,$ $d^2+bc=1$ である。

もし $a+d\mathrm{\ne }0$ なら、上の第2式と第3式から $b=0,c=0$ である。したがって $a^2=1,d^2=1$ となる。この場合、$a+d\mathrm{\ne }0$ なので $$a+d=2\text{または}-2$$ である。

一方、$a+d=0$ の場合も実際に起こる。例えば$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$は $A^2=E$ を満たし、$a+d=0$ である。

よって $a+d$ がとりうる値は $-2,0,2$ である。

(2)
2次行列について、直接計算すると $A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=0$ が成り立つ。そこで $s=a+d,q=ad-bc$ とおくと $A^2=sA-qE$ である。さらに両辺に $A$ を掛けると $$A^3=s{A}^2-qA=s(sA-qE)-qA=(s^2-q)A-sqE$$ となる。

条件 $A^3=A$ より $(s^2-q-1)A-sqE=0$ である。

まず $A$ が $E$ の定数倍である場合を考える。$A=\lambda E$ とすると ${\lambda }^{3}E=\lambda E$ なので ${\lambda }^3=\lambda$ である。よって $\lambda =-1,0,1$ となり、$$s=a+d=2\lambda =-2,0,2$$ が得られる。

次に、$A$ が $E$ の定数倍でない場合を考える。このとき $(s^2-q-1)A-sqE=0$ で、もし $A$ の係数が $0$ でなければ $A$ は $E$ の定数倍になってしまう。したがって $s^2-q-1=0,sq=0$ である。 $s=0$ なら $a+d=0$ である。$q=0$ なら $s^2=1$ なので $s=-1,1$ である。

以上より候補は $-2,-1,0,1,2$ である。これらは実際にすべて起こる。例えば$$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$はいずれも $A^3=A$ を満たし、和 $a+d$ は順に $-2,-1,0,1,2$ である。

したがって $a+d$ がとりうる値は $-2,-1,0,1,2$ である。

2次行列の恒等式で、条件を $s,q$ の場合分けへ落とす

$s=a+d,q=ad-bc$ と置き、直接確かめられる
$A^2=sA-qE$ を使う。(1) はそのまま成分条件を読む。
(2) は $q\mathrm{\ne }0$ なら $A$ が逆行列をもつことを利用して (1) に帰着し、
$q=0$ なら $A^2=sA$ から $s$ を決める。

(1)
$A^2=E$ の非対角成分から$$b(a+d)=0,c(a+d)=0.$$$s=a+d\mathrm{\ne }0$ なら $b=c=0$、$a^2=d^2=1$ なので
$s=\pm 2$。また $s=0$ は
$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ で実現する。
よって$$s=-2,0,2.$$(2)
$q=ad-bc\mathrm{\ne }0$ なら $A$ は逆行列をもち、
$A^3=A$ の両辺に $A^{-1}$ を掛けて $A^2=E$。
よってこの場合は $s=-2,0,2$ である。

$q=0$ の場合、直接計算で成り立つ$$A^2=sA-qE$$は $A^2=sA$ となる。したがって $A^3=s^{2}A$。
$A^3=A$ より、$A=0$ なら $s=0$、$A\mathrm{\ne }0$ なら
$s^2=1$ だから $s=\pm 1$ である。
各値は対角行列で実現するので、答えは$$-2,-1,0,1,2$$である。