九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $a=d,b=-c$ とする。このとき $P^{\mathrm{\prime }}=(ax+by,-bx+ay)$ である。内積を計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}}& {\displaystyle =x(ax+by)+y(-bx+ay)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a(x^2+y^2)}\end{array}$$である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =(ax+by{)}^2+(-bx+ay{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a^2+b^2)(x^2+y^2)}\end{array}$$である。$ad-bc\mathrm{\ne }0$ より、この場合は $a^2+b^2\mathrm{\ne }0$ である。$P\mathrm{\ne }O$ とすると $$\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }=\sqrt{x^2+y^2}$$ であるから、$$\cos \mathrm{\angle }PO{P}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}}{\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$となる。これは $P$ によらない。よって $O$ 以外の任意の点 $P$ に対して $\mathrm{\angle }PO{P}^{\mathrm{\prime }}=\theta$ は一定である。

(2)
逆に，$O$ 以外の任意の点 $P=(x,y)$ に対して $\mathrm{\angle }PO{P}^{\mathrm{\prime }}=\theta$ が一定であるとする。変換は逆変換をもつので，$P\mathrm{\ne }O$ なら $P^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }O$ である。$$S=x{x}^{\mathrm{\prime }}+y{y}^{\mathrm{\prime }},D=x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}$$とおく。$S$ は $\overrightarrow{OP}$ と $\overrightarrow{O{P}^{\mathrm{\prime }}}$ の内積，$D$ は両ベクトルが作る向き付き面積であるから$$S=\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\cos \theta ,\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }OP\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }O{P}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\sin \theta$$が成り立つ。また成分で書けば$$S=a{x}^2+(b+c)xy+d{y}^2,D=c{x}^2+(d-a)xy-b{y}^2$$である。

まず $0<\theta <\pi$ かつ $\theta \mathrm{\ne }\pi \mathrm{/}2$ とする。このとき単位円上で $D$ は0にならない。$D$ は連続で単位円はつながっているので，その符号は単位円上で一定である。したがって，ある一定の符号 $\epsilon \in \{1,-1\}$ に対して$$D=\epsilon \tan \theta S$$がすべての $(x,y)$ で成り立つ。ここで $$\lambda =\epsilon \tan \theta$$ とおき，2次式の係数を比較すると$$c=\lambda a,d-a=\lambda (b+c),-b=\lambda d$$を得る。第1式と第3式を第2式へ代入すれば$$d-a=-{\lambda }^2(d-a)$$となる。よって $(1+{\lambda }^2)(d-a)=0$ であり，$d=a$ である。さらに $$b=-\lambda d=-\lambda a=-c$$ となる。

残る特別な角も調べる。 $\theta =\pi \mathrm{/}2$ なら $S\equiv 0$ なので，係数比較から$$a=0,d=0,b+c=0$$となり，やはり $a=d,b=-c$ である。 $\theta =0$ または $\theta =\pi$ なら $D\equiv 0$ なので$$c=0,d-a=0,b=0$$となり，同じ結論を得る。

以上のすべての場合に $a=d,b=-c$ が成り立つ。

単位円上で P から P' への回転方向は連続性により一定である。座標軸方向の2点の像を、同じ向きに角 θ だけ回した方向として表し、点 (1,1) に対する条件から2つの伸び率が等しいことを示す。

(1)

(1) $a=d,b=-c$ なら$$P^{\mathrm{\prime }}=(ax+by,-bx+ay)$$である。内積と長さから$$\cos \mathrm{\angle }PO{P}^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$となり、角は $P$ によらない。

(2) 変換は逆変換をもつので、単位円上で $P^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\ne }O$ である。$P$ から $P^{\mathrm{\prime }}$ へ回る向きは途中で変わることができないため、一定の符号 $\epsilon =\pm 1$ を用いて表せる。

$(1,0)$、$(0,1)$ の像をそれぞれの長さ $r,s>0$ で$$(a,c)=r(\cos \theta ,\epsilon \sin \theta ),$$$$(b,d)=s(-\epsilon \sin \theta ,\cos \theta )$$と書く。点 $(1,1)$ の像はこの2ベクトルの和であり、$(1,1)$ から同じ向きに角 $\theta$ だけ回した方向に平行でなければならない。成分を比較すると$$r=s\mathrm{.}$$よって$$a=d=r\cos \theta ,b=-c=-\epsilon r\sin \theta \mathrm{.}$$特別な角 $0,\pi \mathrm{/}2,\pi$ でも同じ式がそのまま成り立つ。