九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
直線 $m$ の方向ベクトルを $$e=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$ と置く。条件より、点列 $P_n$ は $P_n=P_0+nle$ と表せる。したがって、行列を $A$ と書くと $$Ae=e,A{P}_0=P_0+le$$ を満たす。

ここで $P_0=(x_0,y_0)$ とする。もし $P_0$ と $e$ が平行なら、$P_0$ は直線 $m$ と原点を結ぶ方向にあり、1次変換で $P_0$ が同じ直線上を等間隔に進むためには $e$ 方向の伸びが必要になる。しかし $Ae=e$ と両立すると $l=0$ になってしまう。条件では $l>0$ なので、$P_0$ と $e$ は平行でない。よって $$\mathrm{\Delta }=x_0\sin \alpha -y_0\cos \alpha$$ は0でない。

行列$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$について、$Ae=e$ から$$\{\begin{array}{l}a\cos \alpha +b\sin \alpha =\cos \alpha ,\\ c\cos \alpha +d\sin \alpha =\sin \alpha \end{array}$$を得る。また $A{P}_0=P_0+le$ から$$\{\begin{array}{l}a{x}_0+b{y}_0=x_0+l\cos \alpha ,\\ c{x}_0+d{y}_0=y_0+l\sin \alpha \end{array}$$を得る。これらを解くと$$A=\left(\begin{array}{cc}1+{\displaystyle \frac{l\sin \alpha \cos \alpha }{\mathrm{\Delta }}}& -{\displaystyle \frac{l{\cos }^2\alpha }{\mathrm{\Delta }}}\\ {\displaystyle \frac{l{\sin }^2\alpha }{\mathrm{\Delta }}}& 1-{\displaystyle \frac{l\sin \alpha \cos \alpha }{\mathrm{\Delta }}}\end{array}\right)$$である。

実際、第1列と第2列を用いて計算すれば $Ae=e$ となり、さらに $A{P}_0=P_0+le$ となることが確認できる。

(2)
任意の点 $Q_0=(u_0,v_0)$ を、$P_0$ と $e$ を用いて $Q_0=\lambda P_0+\mu e$ と表す。$P_0,e$ は平行でないので、この表し方は一意である。両辺の $x,y$ 成分から、特に $$\lambda ={\displaystyle \frac{u_0\sin \alpha -v_0\cos \alpha }{\mathrm{\Delta }}}$$ である。 $Ae=e$、$A{P}_0=P_0+le$ を使うと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle Q_1}& {\displaystyle =A{Q}_0}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda A{P}_0+\mu Ae}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda (P_0+le)+\mu e}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\lambda P_0+(\mu +\lambda l)e\mathrm{.}}\end{array}$$同じ計算を繰り返すと $$Q_n=\lambda P_0+(\mu +n\lambda l)e$$ である。

したがって、$\lambda \mathrm{\ne }0$ のとき、点列 $Q_n$ は直線 $m$ に平行な直線上に、一定間隔 $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }l$ で並ぶ。進む向きは、$\lambda >0$ なら $m$ と同じ向き、$\lambda <0$ なら反対向きである。 $\lambda =0$ のときは $Q_n=\mu e$ で全て同じ点になる。すなわち、$Q_0$ が原点を通り $m$ に平行な直線上にある場合、点列 $Q_n$ は動かない。

以上より、$$\lambda ={\displaystyle \frac{u_0\sin \alpha -v_0\cos \alpha }{x_0\sin \alpha -y_0\cos \alpha }}$$とすると、$\lambda \mathrm{\ne }0$ では $Q_n$ は $m$ に平行な直線上に間隔 $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }l$ で並び、$\lambda =0$ では一点にとどまる。

m方向の単位ベクトル e と、それに垂直な n を使う。変換は e を固定し、P0だけを l e だけ進める。任意の Q0 の n 成分が進行間隔を決めることを直接読む。

(1) $$e=(\cos \alpha ,\sin \alpha )$$、$$n=(\sin \alpha ,-\cos \alpha )$$ とおき$$\mathrm{\Delta }=P_0\cdot n=x_0\sin \alpha -y_0\cos \alpha \mathrm{.}$$$l>0$ だから $\mathrm{\Delta }\mathrm{\ne }0$ である。条件は$$Ae=e,A{P}_0=P_0+le$$である。任意のベクトル $X$ を $X=\lambda P_0+\mu e$ と表すと$$AX=X+\lambda le,\lambda ={\displaystyle \frac{X\cdot n}{\mathrm{\Delta }}}\mathrm{.}$$これを座標に戻せば$$A=\left(\begin{array}{cc}1+{\displaystyle \frac{l\sin \alpha \cos \alpha }{\mathrm{\Delta }}}& -{\displaystyle \frac{l{\cos }^2\alpha }{\mathrm{\Delta }}}\\ {\displaystyle \frac{l{\sin }^2\alpha }{\mathrm{\Delta }}}& 1-{\displaystyle \frac{l\sin \alpha \cos \alpha }{\mathrm{\Delta }}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)

$Q_0=(u_0,v_0)$ に対し$$\lambda ={\displaystyle \frac{u_0\sin \alpha -v_0\cos \alpha }{\mathrm{\Delta }}}$$とおくと$$Q_n=Q_0+n\lambda le\mathrm{.}$$したがって $\lambda \mathrm{\ne }0$ なら $m$ に平行な直線上を間隔 $\mathrm{\mid }\lambda \mathrm{\mid }l$ で進み、$\lambda =0$ なら同一点にとどまる。